Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Trivialisierung/Tangentialbündel/Bemerkung

Es sei ${}p\colon E\rightarrow X$ ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}X$. Für eine offene Menge ${}U\subseteq X$, über der ${}E$ trivialisiert, also die Gestalt ${}E{|}_{U}\cong U\times W$ mit einem ${}\mathbb {R}$-Vektorraum ${}W$ hat, ist

${}T{\left(E{|}_{U}\right)}=T(U\times W)=TU\times TW=TU\times W\times W\,,$

und die Tangentialabbildung zu ${}p_{U}\colon E{|}_{U}\rightarrow U$ ist dabei die Projektion auf ${}TU$. Als Bündelhomomorphismus über ${}U\times W$ muss man

${}p^{*}TU=TU\times W=TU\times _{U}(U\times W)\,$

und

$T{\left(E{|}_{U}\right)}=TU\times W\times W\longrightarrow TU\times W$

mit der Projektion auf ${}TU$ und der zweiten Projektion auf ${}W$ nehmen.