Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Vertikale Ableitung/Einführung/Textabschnitt
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein differenzierbares Vektorbündel auf , das mit einem Zusammenhang versehen sei. Unter der vertikalen Ableitung versteht man die Abbildung
Zu einem differenzierbaren Schnitt in (über oder einer beliebigen offenen Teilmenge ) wird also die Abbildung
zugeordnet, wobei wir auffassen.
Wenn zusätzlich ein Vektorfeld auf , also ein Schnitt im Tangentialbündel gegeben ist, so erhält man die Abbildung
die man die vertikale Ableitung in Richtung nennt. Man beachte, dass dabei die Abhängigkeit vom Vektorfeld nur punktweise ist, die Abhängigkeit von aber infinitesimal ist, da die Tangentialabbildung eingeht.
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein differenzierbares Vektorbündel auf , das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es bezeichne
den zugehörigen Ableitungsoperator zu einem Vektorfeld . Dann gelten die folgenden Eigenschaften.
- hängt nur von (und ab).
- Es ist
für Vektorfelder und Funktionen .
- Zu einem fixierten Punkt
und einem fixierten Schnitt
zu einer offenen Menge
ist
- Die Tangentialabbildung und die vertikale Projektion sind linear. Wegen (1) ist die Abhängigkeit von linear und auch mit der Multiplikation von Funktionen verträglich.