Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Vertikale Ableitung/Einführung/Textabschnitt


Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein differenzierbares Vektorbündel auf , das mit einem Zusammenhang versehen sei. Unter der vertikalen Ableitung versteht man die Abbildung

Zu einem differenzierbaren Schnitt in (über oder einer beliebigen offenen Teilmenge ) wird also die Abbildung

zugeordnet, wobei wir auffassen.

Wenn zusätzlich ein Vektorfeld auf , also ein Schnitt im Tangentialbündel gegeben ist, so erhält man die Abbildung

die man die vertikale Ableitung in Richtung nennt. Man beachte, dass dabei die Abhängigkeit vom Vektorfeld nur punktweise ist, die Abhängigkeit von aber infinitesimal ist, da die Tangentialabbildung eingeht.



Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ein differenzierbares Vektorbündel auf , das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es bezeichne

den zugehörigen Ableitungsoperator zu einem Vektorfeld . Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

  1. hängt nur von (und ab).
  2. Es ist

    für Vektorfelder und Funktionen .

  1. Zu einem fixierten Punkt und einem fixierten Schnitt zu einer offenen Menge ist
  2. Die Tangentialabbildung und die vertikale Projektion sind linear. Wegen (1) ist die Abhängigkeit von linear und auch mit der Multiplikation von Funktionen verträglich.