Mannigfaltigkeiten/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

1. Der Tangentialraum ${}T_{P}M$ besteht aus allen Äquivalenzklassen von tangential äquivalenten differenzierbaren Wegen durch diesen Punkt.
2. Eine abgeschlossene Teilmenge ${}M\subseteq N$ heißt abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, wenn es zu jedem Punkt ${}P\in M$ eine Karte gibt mit ${}P\in W\subseteq N$ offen, ${}\theta \colon W\rightarrow W'$, ${}W'\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und mit

   ${}M\cap W=\theta ^{-1}((\mathbb {R} ^{m}\times \{0\})\cap W')\,.$

3. Ein Atlas ${}(U_{i},V_{i},\alpha _{i})$ heißt orientiert, wenn sämtliche Karten orientiert sind und wenn alle Kartenwechsel orientierungstreu sind.
4. Die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ ist für ${}P\in L$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{k}\in T_{P}L$ durch

   ${}(\varphi ^{*}\omega )(P,v_{1},\ldots ,v_{k}):=\omega (\varphi (P),T_{P}\varphi (v_{1}),\ldots ,T_{P}\varphi (v_{k}))\,$

   definiert.

5. Das Wegintegral ist durch

   ${}\int _{\gamma }\omega =\int _{a}^{b}\gamma ^{*}\omega \,$

   definiert.

6. Eine ${}n$-Differentialform ${}\omega$ auf ${}M$ heißt eine positive Volumenform, wenn für jede Karte

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   (mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und Koordinatenfunktionen $x_{1},\ldots ,x_{n}$) in der lokalen Darstellung der Differentialform

   ${}\alpha _{*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$

   die Funktion ${}f$ überall positiv ist.

7. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$ heißt riemannsche Mannigfaltigkeit, wenn auf jedem Tangentialraum ${}T_{P}M$, ${}P\in M$, ein Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle _{P}$ erklärt ist derart, dass für jede Karte

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ die Funktionen (für $1\leq i,j\leq n$)

   $g_{ij}\colon V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,Q\longmapsto g_{ij}(Q)=\left\langle T(\alpha ^{-1})(e_{i}),T(\alpha ^{-1})(e_{j})\right\rangle _{\alpha ^{-1}(Q)},$

   ${}C^{1}$-differenzierbar sind.

8. Die äußere Ableitung von ${}\omega$ wird lokal auf einer Karte, auf der ${}\omega$ die Gestalt

   ${}\omega =\sum _{{\#\left(I\right)}=k,\,I\subseteq \{1,\ldots ,\operatorname {dim} \,M\}}f_{I}dx_{I}\,$

   besitzt, durch

   ${}d\omega =\sum _{{\#\left(I\right)}=k}d(f_{I})\wedge dx_{I}\,$

   definiert.

Zur gelösten Aufgabe