Mathematik für Anwender 1/Gemischte Definitionsabfrage/60/Aufgabe/Lösung

1. Ein Körper ${}K$ heißt angeordneter Körper, wenn es zwischen den Elementen von ${}K$ eine Beziehung ${}>$ („größer als“) gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllt (${}a\geq b$ bedeutet ${}a>b$ oder ${}a=b$).
   1. Für je zwei Elemente ${}a,b\in K$ gilt entweder ${}a>b$ oder ${}a=b$ oder ${}b>a$.
   2. Aus ${}a\geq b$ und ${}b\geq c$ folgt ${}a\geq c$ (für beliebige ${}a,b,c\in K$).
   3. Aus ${}a\geq b$ folgt ${}a+c\geq b+c$ (für beliebige ${}a,b,c\in K$).
   4. Aus ${}a\geq 0$ und ${}b\geq 0$ folgt ${}ab\geq 0$ (für beliebige ${}a,b\in K$).
2. Die Konvergenz gegen ${}x$ bedeutet, dass es zu jedem reellen ${}\epsilon >0$ ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

   ${}\vert {x-x_{n}}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

3. Die Funktion ${}f$ heißt differenzierbar in ${}a$, wenn der Limes

   $\operatorname {lim} _{x\in \mathbb {R} \setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

   existiert.

4. Die Funktion ${}f$ heißt Riemann-integrierbar auf ${}I$, wenn Ober- und Unterintegral von ${}f$ existieren und übereinstimmen.
5. Die Matrix ${}M$ heißt invertierbar, wenn es eine Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit

   ${}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$

   gibt.

6. Den Exponenten des linearen Polynoms ${}X-\lambda$ im charakteristischen Polynom ${}\chi _{\varphi }$ nennt man die algebraische Vielfachheit von ${}\lambda$.

Zur gelösten Aufgabe