Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe/Lösung

1. Die Länge des Graphen von ${}f$ ist gleich

   $\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx.$

2. Es sei

   ${}v'=Mv\,$

   mit

   ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })\,$

   eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei ${}u\in {\mathbb {K} }^{n}$ ein Eigenvektor zu ${}M$ zum Eigenwert ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$. Dann ist die Abbildung

   $\mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,t\longmapsto ce^{\lambda t}u=c{\begin{pmatrix}e^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\e^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}},$

   (${}c\in {\mathbb {K} }$) eine Lösung dieses

   Differentialgleichungssystems.
3. Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und

   $h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine differenzierbare Funktion mit dem zugehörigen Gradientenfeld ${}G=\operatorname {Grad} \,h$. Es sei ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ ein stetig differenzierbarer Weg in ${}U$. Dann gilt für das Wegintegral

   ${}\int _{\gamma }G=h(\gamma (b))-h(\gamma (a))\,.$

Zur gelösten Aufgabe