Messbare Abbildung/Bildmaß/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum, ${}(N,{\mathcal {B}})$ ein Messraum und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine messbare Abbildung. Dann nennt man das durch

${}\nu (T):=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,$

definierte Maß auf ${}N$ das Bildmaß von ${}\mu$ unter ${}\varphi$. Es wird mit ${}\varphi _{*}\mu$ bezeichnet.

Das Bildmaß ist in der Tat ein Maß, siehe Aufgabe.

Die Verteilung der Anfangsziffern der Bevölkerungsgröße der Länder der Erde.

Beispiel

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto 10^{x},$

die Exponentialfunktion zur Basis ${}10$ und ${}\nu$ das Bildmaß zum eindimensionalen Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda ^{1}$  (das wir zwar noch nicht eingeführt haben, von dem wir hier aber nur verwenden, dass es einem Intervall die Intervallänge zuordnet). Für ein Intervall ${}[a,b]\subseteq \mathbb {R} _{+}$ ist

${}\nu ([a,b])=\lambda ^{1}(\varphi ^{-1}([a,b]))=\lambda ^{1}([\operatorname {log} _{10}^{}{\left(a\right)},\operatorname {log} _{10}^{}{\left(b\right)}])=\operatorname {log} _{10}^{}{\left(b\right)}-\operatorname {log} _{10}^{}{\left(a\right)}\,.$

Insbesondere haben die Intervalle

$\ldots ,[{\frac {1}{100}},{\frac {1}{10}}],\,[{\frac {1}{10}},1],\,[1,10],\,[10,100],\,[100,1000],\ldots$

unter ${}\nu$ alle das Maß ${}1$. Das Maß ${}\nu$ ist also „unter Berücksichtigung der Größenordnung gleichverteilt“.

Wenn man zur Menge aller Städte (auf der Erde oder in Deutschland) die Einwohnerzahl nimmt und davon die erste Ziffer, so kann man beobachten, dass die Ziffer ${}1$ deutlich häufiger vorkommt als die Ziffern ${}2,3,\ldots$. Beispielsweise gibt es in Deutschland relativ viele Städte mit zwischen ${}100000$ und ${}200000$ Einwohnern, aber keine mit zwischen ${}800000$ und ${}900000$ Einwohnern. Diese Beobachtung kann man in sehr vielen verschiedenen Situationen machen, und zwar genügt die erste Ziffer dem sogenannnten Benfordschen Gesetz. Wenn man davon ausgeht, dass Städte zu unterschiedlichen Zeitpunkten gegründet werden, dass sie exponentiell wachsen (mit einer kleinen Basis), und dass die Verteilung der Stadtgründungen mit der Zeit gleichverteilt ist (in einem endlichen Zeitintervall), so kann man die Stadtgründungen durch ${}\lambda ^{1}$ modellieren und erhält für die Verteilung der Stadtgrößen das Maß ${}\nu$ (bis auf einen Streckungsfaktor mit der Zeit). Es ist dann beispielsweise

${}\nu ([1,2])=\operatorname {log} _{10}^{}{\left(2\right)}=0,301\ldots \,$

und

${}\nu ([8,9])=\operatorname {log} _{10}^{}{\left(2\right)}=0,051\ldots \,$

und entsprechend für die Intervalle ${}[10,20]$, ${}[100,200]$, etc., was das Benfordsche Gesetz erklärt.

Lemma

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}})$, ${}(N,{\mathcal {B}})$ und ${}(S,{\mathcal {C}})$ Messräume und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

und

$\psi \colon N\longrightarrow S$

messbare Abbildungen. Es sei ${}\mu$ ein Maß auf ${}M$.

Dann gilt für die Bildmaße

${}(\psi \circ \varphi )_{*}\mu =\psi _{*}(\varphi _{*}\mu )\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Definition

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und ${}(N,{\mathcal {B}},\nu )$ Maßräume. Eine messbare Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

heißt maßtreu, wenn für jede messbare Menge ${}T\subseteq N$ die Beziehung

${}\nu (T)=\mu (\varphi ^{-1}(T))\,$

gilt.

Eine messbare Abbildung ${}\varphi \colon (M,{\mathcal {A}},\mu )\rightarrow (N,{\mathcal {B}},\nu )$ ist genau dann maßtreu, wenn ${}\nu$ das Bildmaß von ${}\mu$ unter ${}\varphi$ ist.