Messbare Funktionen/Rechenoperationen/Fakt/Beweis

Beweis

Die Rechenoperationen ${}\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, ${}t\longmapsto -t$, ${}\mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}$, ${}t\longmapsto t^{-1}$, ${}\mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, ${}(s,t)\longmapsto s+t$, und ${}\mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$, ${}(s,t)\longmapsto s\cdot t$, sind nach Fakt und Fakt stetig und daher nach Fakt messbar. Ferner ist eine Hintereinanderschaltung von messbaren Abbildungen wieder messbar, und mit ${}f$ und ${}g$ ist nach Fakt auch die Abbildung

$M\longrightarrow \mathbb {R} \times \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (f(x),g(x)),$

messbar. Daher ergeben sich die Behauptungen durch Betrachten der Hintereinanderschaltungen

$M{\stackrel {f}{\longrightarrow }}\mathbb {R} {\stackrel {-}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ,\,M{\stackrel {f}{\longrightarrow }}\mathbb {R} \setminus \{0\}{\stackrel {^{-1}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} \setminus \{0\}\,\,{\text{ und }}\,\,M{\stackrel {f,g}{\longrightarrow }}\mathbb {R} \times \mathbb {R} {\stackrel {+,\cdot }{\longrightarrow }}\mathbb {R} ,$

Zur bewiesenen Aussage