Der wird beispielsweise durch die Bälle oder die Würfel ausgeschöpft.
Beispielsweise ist eine reelle
Intervallschachtelung
eine Schrumpfung, bei der der Durchschnitt über alle beteiligten Mengen nur aus einem einzigen Punkt besteht.
Bei einer -Algebra gehört mit einer jeden solchen auf- oder absteigenden Folge von Teilmengen auch die Vereinigung bzw. der Durchschnitt zu . Bei einem Prämaß auf einen Präring setzen wir, wenn wir von Ausschöpfung bzw. Schrumpfung sprechen, voraus, dass die Vereinigung bzw. der Durchschnitt zum Präring gehören.
Wir fassen einige Rechenregeln für Prämaße zusammen.
Es sei eine Menge, ein
Präring
auf und ein
Prämaß
auf .
Dann gelten folgende Aussagen.
- Es ist
.
- Für Mengen
mit
gilt
.
Insbesondere ist ein Prämaß
monoton.
- Für Mengen
gilt
.
- Seien
, ,
und aus mit
Dann gilt
-
- Es sei eine
Ausschöpfung
in . Dann ist
-
wobei diese Folge
monoton wachsend
ist.
- Es sei eine
Schrumpfung
in und sei
vorausgesetzt. Dann ist
-
wobei diese Folge
monoton fallend
ist.
(1) ist in der Definition von
Prämaß
enthalten, da die leere Summe als definiert ist.
(2) folgt direkt aus der Definition, da die
disjunkte Vereinigung
aus
und
ist.
(3) folgt daraus, dass die disjunkte Vereinigung aus den drei Mengen
und
ist.
(4). Wir verwenden den folgenden Standardtrick: Wir schreiben
.
Dann gilt offensichtlich
für alle , wobei die Vereinigungen der jeweils disjunkt sind. Entsprechned Damit gilt
(5). Wir schreiben die einzelnen Teilmengen als disjunkte Vereinigung mittels
und
.
Damit ist
-
und da dies eine disjunkte Vereinigung ist, gilt
.
Entsprechend gilt
-
und daher
-
(6) Wir setzen
.
Da
, ,
eine absteigende Folge ist, ist
, ,
eine aufsteigende Folge, und zwar gilt
-
Daher gilt
-
nach Teil (5). Somit ist
(da
ist)
-