Der metrische Raum sei . Es sei zuerst
, ,
eine Basis der Topologie. Wir wählen Punkte
und behaupten, dass dies eine dichte Teilmenge ist. Sei
und sei
eine offene Umgebung. Dann ist
-
und daher befinden sich auch die Punkte in dieser Umgebung. Es sei nun umgekehrt
,
eine dichte Teilmenge. Es ist dann auch die Menge der offenen Bälle
, ,
abzählbar. Sei
und sei
eine
offene Umgebung
und sei
.
Wegen der Dichtheit gibt es einen Punkt mit
-
Dann ist
.