Modul/Freier Rang/Lokaler Ring/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}M$ ein Modul über dem kommutativen Ring ${}R$. Dann heißt der maximale Rang eines freien Moduls ${}F$ derart, dass es eine direkte Summenzerlegung ${}M\cong F\oplus N$ mit einem weiteren ${}R$-Modul ${}N$ gibt, der freie Rang von ${}M$.

Lemma

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}},K)$ ein lokaler Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul.

Dann ist der freie Rang von ${}M$ gleich der ${}K$-Dimension des Quotienten ${}Q$ in der kurzen exakten Sequenz

$0\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left(M,{\mathfrak {m}}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left(M,R\right)}\longrightarrow Q\longrightarrow 0.$

Beweis

Zunächst ist der Quotient ein Modul über ${}K=R/{\mathfrak {m}}$. Zu einem Element ${}f\in {\mathfrak {m}}$ und einem ${}\varphi \in \operatorname {Hom} _{R}{\left(M,R\right)}$ ist ${}f\varphi \in \operatorname {Hom} _{R}{\left(M,{\mathfrak {m}}\right)}$, somit annulliert ${}{\mathfrak {m}}$ den Modul ${}Q$ und dieser ist daher nach Fakt ein ${}R/{\mathfrak {m}}$-Modul. Es sei

${}M=F\oplus N\,$

mit einem freien Modul ${}F\cong R^{s}$. Es ist

${}\operatorname {Hom} _{R}{\left(M,{\mathfrak {m}}\right)}\cong \operatorname {Hom} _{R}{\left(F,{\mathfrak {m}}\right)}\oplus \operatorname {Hom} _{R}{\left(N,{\mathfrak {m}}\right)}\,$

und

${}\operatorname {Hom} _{R}{\left(M,R\right)}\cong \operatorname {Hom} _{R}{\left(F,R\right)}\oplus \operatorname {Hom} _{R}{\left(N,R\right)}\,.$

Der Quotient ist dann

${}{\begin{aligned}Q&={\left(\operatorname {Hom} _{R}{\left(F,R\right)}\oplus \operatorname {Hom} _{R}{\left(N,R\right)}\right)}/{\left(\operatorname {Hom} _{R}{\left(F,{\mathfrak {m}}\right)}\oplus \operatorname {Hom} _{R}{\left(N,{\mathfrak {m}}\right)}\right)}\\&\cong \operatorname {Hom} _{R}{\left(F,R\right)}/\operatorname {Hom} _{R}{\left(F,{\mathfrak {m}}\right)}\oplus \operatorname {Hom} _{R}{\left(N,R\right)}/\operatorname {Hom} _{R}{\left(N,{\mathfrak {m}}\right)}\\&\cong R^{s}/{\mathfrak {m}}^{\oplus s}\oplus \operatorname {Hom} _{R}{\left(N,R\right)}/\operatorname {Hom} _{R}{\left(N,{\mathfrak {m}}\right)}\\&\cong K^{s}\oplus \operatorname {Hom} _{R}{\left(N,R\right)}/\operatorname {Hom} _{R}{\left(N,{\mathfrak {m}}\right)}.\end{aligned}}$

Die Dimension von ${}Q$ ist also mindestens ${}s$. Wenn hierbei ${}F$ ein Untermodul ist, in dem der freie Rang von ${}M$ angenommen wird, so besitzt ${}N$ keinen nichttrivialen freien Summanden und auch keinen surjektiven Modulhomomorphismus von ${}N$ nach ${}R$. Also ist ${}\operatorname {Hom} _{R}{\left(N,R\right)}=\operatorname {Hom} _{R}{\left(N,{\mathfrak {m}}\right)}$ und der rechte Summand ist ${}0$.

$\Box$