Modultheorie/Hauptidealbereiche/Direkte Summe zyklischer Moduln/Eindeutigkeit bis auf Isomorphie/Fakt

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}M$ ein Modul, der sich als direkte Summe zyklischer Moduln darstellen lässt. Außerdem enthalte die Teilmenge von Primelementen ${}P\subseteq R$ zu jeder Äquivalenzklasse assoziierter Primelemente in ${}R$ genau einen Repräsentanten.

Dann lässt sich ${}M$ durch seinen Rang und seine Ulmschen Invarianten bis auf Isomorphie eindeutig darstellen als

$M\cong R^{(\operatorname {rang} M)}\oplus \bigoplus _{p\in P,n\in \mathbb {N} _{+}}(R/Rp^{n})^{(\operatorname {u} (n,p))}.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen