Wir wollen die Zerlegung für
endliche
Untermoduln von zeigen. Wenn jeder endliche Untermodul eine
direkte Summenzerlegung aus
Primärkomponenten besitzt, dann gilt das auch für , weil jedes Element von in einem endlichen Untermodul liegt. Es sei daher ein beliebiger
endlicher
Untermodul von . ist als Untermodul des
Torsionsmoduls ein Torsionsmodul. Jedes Element eines
Erzeugendensystems wird daher annulliert von einem
Nichtnullteiler . Jedes Element von wird daher annulliert von , deshalb gilt . Dieses besitzt als Element eines
Hauptidealbereichs eine
kanonische Primfaktorzerlegung
-
wobei
eine
Einheit ist und paarweise verschiedene
Primelemente.
Wir behaupten, dass
-
gilt.
Nach dem
Lemma von Bezout
gibt es für die Elemente mit , die nach Konstruktion keinen gemeinsamen Teiler besitzen, eine Darstellung der :
-
Es sei nun
. Dann ist für alle
-
weil
als Vielfaches von
den Untermodul
und damit auch
annulliert. Weil
gilt, gibt es für jedes
eine Darstellung in
.
Es sei nun
eine Darstellung eines Elements
mit
. Dann ist
-
weil
für
jeweils von
annulliert wird.
Deshalb ist die Darstellung eindeutig und direkte Summe seiner Primärkomponenten und damit auch direkte Summe seiner Primärkomponenten.