Modultheorie/Hauptidealbereiche/Primärzerlegung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir wollen die Zerlegung für endliche Untermoduln von zeigen. Wenn jeder endliche Untermodul eine direkte Summenzerlegung aus Primärkomponenten besitzt, dann gilt das auch für , weil jedes Element von in einem endlichen Untermodul liegt. Es sei daher ein beliebiger endlicher Untermodul von . ist als Untermodul des Torsionsmoduls ein Torsionsmodul. Jedes Element eines Erzeugendensystems wird daher annulliert von einem Nichtnullteiler . Jedes Element von wird daher annulliert von , deshalb gilt . Dieses besitzt als Element eines Hauptidealbereichs eine kanonische Primfaktorzerlegung

wobei eine

Einheit ist und paarweise verschiedene Primelemente.

Wir behaupten, dass

gilt.

Nach dem Lemma von Bezout gibt es für die Elemente mit , die nach Konstruktion keinen gemeinsamen Teiler besitzen, eine Darstellung der :

Es sei nun . Dann ist für alle
weil als Vielfaches von den Untermodul und damit auch annulliert. Weil gilt, gibt es für jedes eine Darstellung in . Es sei nun eine Darstellung eines Elements mit . Dann ist
weil für jeweils von annulliert wird.

Deshalb ist die Darstellung eindeutig und direkte Summe seiner Primärkomponenten und damit auch direkte Summe seiner Primärkomponenten.