Modultheorie/Hauptidealbereiche/Satz von Prüfer/Fakt/Beweis

Beweis

Die Aussage von Fakt ist gerade, dass direkte Summe seiner Primärkomponenten ist (weil ein Modul über einem Hauptidealbereich mit nichttrivialem Annullator in jedem Fall ein Torsionsmodul ist).

Es bleibt also nur zu zeigen, dass die Primärkomponenten direkte Summe zyklischer Moduln sind. Nehmen wir also an für ein Primelement . Als Ideal wird von erzeugt für ein , deshalb ist für alle .

Wir führen Induktion über . Für ist für alle , daher wird von erzeugt.

Im Induktionsschritt müssen wir zeigen, dass aus folgt, dass direkte Summe zyklischer Moduln ist.

Die Induktionsvoraussetzung sagt uns, dass , da es von annulliert wird, direkte Summe zyklischer Moduln ist:

Hierbei kann für alle erreicht werden, nehmen wir dies also an.

Es gilt für alle die Aussage für ein , weil auch gilt und zu führen würde. Es folgt .

Es sei mit . Weil direkte Summe der ist, folgt daraus mit auch , deshalb ist

für alle . Aus diesem Grund können wir schreiben, mit . Daraus folgt mit auch .

Deshalb ist der Untermodul direkte Summe der zyklischen Moduln .

Es sei nun beliebig. Dann ist . Deshalb gilt für zum Einen und zum Anderen , und daher .

Es gilt daher . Der Restklassenmodul ist isomorph zu einem Untermodul des -Sockels , weil nach Fakt ein Vektorraum über dem Körper ist. Folglich ist auch ein Vektorraum über . Als Vektorraum besitzt eine Basis und damit eine direkte Summenzerlegung in zyklische Moduln über . Dies liefert auch zyklische Primärmoduln über .

Daher besitzt eine direkte Zerlegung in zyklische Primärmoduln.