Monogene Algebra/Spur und Norm/Ableitungsbeschreibung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir schreiben ${}F=(X-x)G$ mit einem normierten Polynom ${}G=\sum b_{j}X^{j}$ wie im Beweis zu Fakt. Aus

{}F'=(X-x)G'+G\,

folgt ${}F'(x)=G(x)$ . Für die Spur gelten deshalb nach Fakt und wieder nach dem Beweis von Fakt die Gleichheiten

{}{\begin{aligned}\operatorname {Spur} {\left(s\right)}&=\sum _{j=0}^{n-1}x^{j}\epsilon _{j}(s)\\&=\sum _{j=0}^{n-1}x^{j}b_{j}\epsilon _{n-1}(s)\\&={\left(\sum _{j=0}^{n-1}b_{j}x^{j}\right)}\epsilon _{n-1}(s)\\&=G(x)\epsilon _{n-1}(s)\\&=F'(x)\epsilon _{n-1}(s).\end{aligned}}

Zum Beweis des zweiten Teils gehen wir von der Matrixbeziehung

{}{\begin{pmatrix}b_{0}\\b_{1}\\\vdots \\b_{n-2}\\b_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n-1}&1\\c_{2}&c_{3}&\ldots &1&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\c_{n-1}&1&\ldots &0&0\\1&0&\ldots &0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\x\\\vdots \\x^{n-2}\\x^{n-1}\end{pmatrix}}\,

aus. Nach Fakt ist

{}\vert {\det \left(\operatorname {Spur} {\left(x^{i+j}\right)}_{0\leq i,j\leq n-1}\right)}\vert =\vert {\det \left(\operatorname {Spur} {\left(b_{i}b_{j}\right)}_{0\leq i,j\leq n-1}\right)}\vert \,.