Monoidring/Eigenschaften/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}M$ ein kommutatives (additiv geschriebenes) Monoid und ${}R$ ein kommutativer Ring. Dann wird der Monoidring ${}R[M]$ wie folgt konstruiert. Als ${}R$-Modul ist

${}R[M]=\bigoplus _{m\in M}Re_{m}\,,$

d.h. ${}R[M]$ ist der freie Modul mit Basis ${}e_{m}$, ${}m\in M$. Die Multiplikation wird auf den Basiselementen durch

${}e_{m}\cdot e_{k}:=e_{m+k}\,$

definiert und auf ganz ${}R[M]$ distributiv fortgesetzt. Dabei definiert das neutrale Element ${}0\in M$ das neutrale Element ${}1=e_{0}$ der Multiplikation.

Bemerkung  

Ein Element in einem Monoidring lässt sich eindeutig als

${}f=\sum _{m\in {\tilde {M}}}a_{m}e_{m}\,,$

schreiben, wobei ${}{\tilde {M}}\subseteq M$ eine endliche Teilmenge ist und ${}a_{m}\in R$. Addiert wird komponentenweise und die Multiplikation ist explizit durch

${}f\cdot g={\left(\sum _{m\in {\tilde {M}}}a_{m}e_{m}\right)}{\left(\sum _{k\in {\bar {M}}}b_{k}e_{k}\right)}=\sum _{\ell \in M}{\left(\sum _{m+k=\ell ,m\in {\tilde {M}},k\in {\bar {M}}}a_{m}b_{k}\right)}e_{\ell }\,$

gegeben. Dies ist mit distributiver Fortsetzung gemeint. Die Menge der ${}\ell$, über die hier summiert wird, ist endlich, und auch die inneren Summen sind jeweils endlich.

Es ist üblich, statt ${}e_{m}$ suggestiver ${}X^{m}$ zu schreiben, wobei ${}X$ ein Symbol ist, das an eine Variable erinnern soll. Die Multiplikationsregel ${}X^{m}X^{k}=X^{m+k}$ erinnert dann an die entsprechende Regel für Polynomringe. In der Tat sind Polynomringe Spezialfälle von Monoidringen, und diese Notation stammt von dort. Auch ein exakter Beweis, dass in der Tat ein Ring mit assoziativer und distributiver Multiplikation vorliegt, funktioniert wie im Fall von Polynomringen. Meistens schreibt man ein Element einfach als ${}\sum _{m\in M}a_{m}X^{m}$, wobei fast alle ${}a_{m}=0$ sind. Elemente der Form ${}X^{m}$ nennt man Monome. Die Abbildung ${}M\longrightarrow R[M]$, ${}m\longmapsto X^{m}$, ist ein Monoidhomomorphismus, wobei rechts die multiplikative Monoidstruktur des Monoidringes genommen wird.

Ein Monoidring ist in natürlicher Weise eine ${}R$-Algebra, und zwar sind die Elemente ${}f$ aus ${}R$ aufgefasst in ${}R[M]$ gleich

${}f=f\cdot 1=fX^{0}\,.$

Man nennt daher auch ${}R$ den Grundring des Monoidringes. Monoidringe sind bereits für Grundkörper interessant.

Beispiel

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl und ${}M=\mathbb {N} ^{n}$ das ${}n$-fache direkte Produkt der natürlichen Zahlen. Ein Element ${}k\in \mathbb {N} ^{n}$ ist also ein ${}n$-Tupel ${}(k_{1},\ldots ,k_{n})$ mit ${}k_{i}\in \mathbb {N}$. Dies kann man auch als

${}(k_{1},\ldots ,k_{n})=k_{1}(1,0,0,\ldots ,0)+k_{2}(0,1,0,\ldots ,0)+\ldots +k_{n}(0,0,0,\ldots ,1)\,$

schreiben. Damit lässt sich das zugehörige Monom ${}X^{k}$ eindeutig als

${}X^{k}=X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\cdots X_{n}^{k_{n}}\,$

schreiben, wobei wir ${}X_{i}=X^{e_{i}}=X^{(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)}$ für das Monom zum ${}i$-ten Basiselement geschrieben haben. Das bedeutet aber, dass der Monoidring zum Monoid ${}\mathbb {N} ^{n}$ über ${}R$ genau der Polynomring in ${}n$ Variablen ist. Insbesondere ist ${}R[\mathbb {N} ]=R[X]$. Der Monoidring zum trivialen Monoid ${}\{0\}$ ist der Grundring selbst.

Beispiel

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl und ${}M=\mathbb {Z} ^{n}$ das ${}n$-fache direkte Produkt der ganzen Zahlen. ${}M$ ist also die freie kommutative Gruppe vom Rang ${}n$. Jedes Element ${}k\in \mathbb {Z} ^{n}$ ist ein ${}n$-Tupel ${}(k_{1},\ldots ,k_{n})$ mit ${}k_{i}\in \mathbb {Z}$. Dies kann man auch als

${}(k_{1},\ldots ,k_{n})=k_{1}(1,0,0,\ldots ,0)+k_{2}(0,1,0,\ldots ,0)+\ldots +k_{n}(0,0,0,\ldots ,1)\,$

schreiben und das zugehörige Monom ${}X^{k}$ kann man eindeutig als

${}X^{k}=X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\cdots X_{n}^{k_{n}}\,$

mit ${}k_{i}\in \mathbb {Z}$ schreiben, wobei wir wieder ${}X_{i}=X^{e_{i}}$ geschrieben haben. Für diesen Monoidring schreibt man auch

${}R[M]=R[X_{1},\ldots ,X_{n},X_{1}^{-1},\ldots ,X_{n}^{-1}]\,,$

und dieser ist isomorph zur Nenneraufnahme des Polynomringes am Produkt der Variablen, also

${}R[M]=R[X_{1},\ldots ,X_{n},X_{1}^{-1},\ldots ,X_{n}^{-1}]=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{1}\cdots X_{n}}\,,$

Diesen Ring nennt man auch den Laurent-Ring in ${}n$ Variablen über ${}R$.