Multiplikatives System/Integritätsbereich/Nenneraufnahme/Normal/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge ${}S\subseteq R$ heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften

${}1\in S$ ,
Wenn ${}f,g\in S$ , dann ist auch ${}fg\in S$ ,

gelten.

Es handelt sich also einfach um ein Untermonoid des multiplikativen Monoids eines Ringes.

Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$ ein Element. Dann bilden die Potenzen ${}f^{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , ein multiplikatives System.

Beispiel

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Dann bilden alle von ${}0$ verschiedenen Elemente in ${}R$ ein multiplikatives System, das mit ${}R^{*}=R\setminus \{0\}$ bezeichnet wird.

Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann ist das Komplement ${}R\setminus {\mathfrak {p}}$ ein multiplikatives System. Dies folgt unmittelbar aus der Definition.

Für die Nenneraufnahme an einem Element ${}f$ schreibt man einfach ${}R_{f}$ statt ${}R_{\left\{f^{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$ . Man kann eine Nenneraufnahme auch dann definieren, wenn ${}R$ kein Integritätsbereich ist, siehe Aufgabe.

Definition

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an ${}S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ die Lokalisierung von ${}R$ an ${}{\mathfrak {p}}$ . Man schreibt dafür ${}R_{\mathfrak {p}}$ . Es ist also

{}R_{\mathfrak {p}}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\subseteq Q(R)\,.

Für eine Primzahl ${}p\in \mathbb {Z}$ besteht ${}\mathbb {Z} _{(p)}$ aus allen rationalen Zahlen, die man ohne ${}p$ im Nenner schreiben kann.

Definition

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt lokal, wenn ${}R$ genau ein maximales Ideal besitzt.

Der folgende Satz zeigt, dass diese Namensgebung Sinn ergibt.

Satz

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in ${}R$ . Dann ist die Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal

{}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in {\mathfrak {p}},\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\,.

Beweis

Die angegebene Menge ist in der Tat ein Ideal in der Lokalisierung

{}R_{\mathfrak {p}}={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\,.

Wir zeigen, dass das Komplement von ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ nur aus Einheiten besteht, so dass es sich um ein maximales Ideal handeln muss. Es sei also ${}q={\frac {f}{g}}\in R_{\mathfrak {p}}$ , aber nicht in ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ . Dann sind ${}f,g\notin {\mathfrak {p}}$ und somit gehört der inverse Bruch ${}{\frac {g}{f}}$ ebenfalls zur Lokalisierung.

\Box

Das Ideal ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ ist dabei das Erweiterungsideal zu ${}{\mathfrak {p}}$ unter dem Ringhomomorphismus ${}R\rightarrow R_{\mathfrak {p}}$ .

Satz

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$ .

Dann gilt

${}R=\bigcap _{{\mathfrak {m}}{\text{ maximal }}}R_{\mathfrak {m}}\,,$

wobei der Durchschnitt über alle maximale Ideale läuft und in ${}Q(R)$ genommen wird.

Beweis

Die Inklusion ${}\subseteq$ ist klar. Es sei also ${}q\in Q(R)$ und sei angenommen, ${}q$ gehöre zum Durchschnitt rechts. Für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ ist also ${}q\in R_{\mathfrak {m}}\subset Q(R)$ , d.h. es gibt ${}f_{\mathfrak {m}}\notin {\mathfrak {m}}$ und ${}a_{\mathfrak {m}}\in R$ mit ${}q={\frac {a_{\mathfrak {m}}}{f_{\mathfrak {m}}}}$ . Wir betrachten das Ideal

(f_{\mathfrak {m}}:\,{\mathfrak {m}}{\text{ maximal}}).

Dieses Ideal ist in keinem maximalen Ideal enthalten, also muss es nach dem Lemma von Zorn das Einheitsideal sein. Es gibt also endlich viele maximale Ideale ${}{\mathfrak {m}}_{i}$ , ${}i=1,\ldots ,n$ und ${}r_{i}\in R$ mit