Natürlicher Logarithmus/Umkehrfunktion zu reeller Exponentialfunktion/Einführung/Textabschnitt

Definition

Der natürliche Logarithmus

$\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$

ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.

Satz

Der natürliche Logarithmus

$\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \ln x,$

ist eine stetige, streng wachsende Funktion, die eine Bijektion zwischen ${}\mathbb {R} _{+}$ und ${}\mathbb {R}$ stiftet. Dabei gilt

${}\ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y\,$

für alle ${}x,y\in \mathbb {R} _{+}$.

Beweis

Dies folgt aus Fakt, Fakt, Fakt und Fakt  (6).

$\Box$