Die Integrierbarkeit der einzelnen Funktionen folgt aus
Fakt.
Wir müssen die Stetigkeit der Funktion in zeigen. Wir wenden
das Folgenkriterium für die Stetigkeit
an, sei also eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir setzen
.
Aufgrund der zweiten Voraussetzung
konvergiert
die Folge für jedes
gegen . Daher
konvergiert
die Funktionenfolge punktweise gegen . Wegen der dritten Bedingung kann man
den Satz von der majorisierten Konvergenz
anwenden und erhält
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