Permutationsmatrix/Zykel/Charakteristisches Polynom/Zerlegung/Summenzerlegung/Aufgabe

Es sei ${}\pi$ ein Zykel der Länge ${}n$ und ${}M$ die zugehörige Permutationsmatrix, also

${}M={\begin{pmatrix}0&0&0&\ldots &1\\1&0&0&\ldots &0\\0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &1&0\end{pmatrix}}\,.$

1. Bestimme das charakteristische Polynom ${}\chi _{M}$ von ${}M$.
2. Zeige, dass ${}P=X-1$ ein Teiler von ${}\chi _{M}$ ist und berechne die Zerlegung

   ${}\chi _{M}=PQ\,.$

3. Bestimme ${}P(M)$ und ${}Q(M)$.
4. Bestimme ${}\operatorname {kern} P(M)$ und ${}\operatorname {kern} Q(M)$.

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