Polynome/Körper/Division mit Rest/2/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es seien ${}P,T\in K[X]$ Polynome mit ${}T\neq 0$.

Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome ${}Q,R\in K[X]$ mit

$P=TQ+R{\text{ und mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R=0.$

Beweis

Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den Grad von ${}P$. Wenn der Grad von ${}T$ größer als der Grad von ${}P$ ist, so ist ${}Q=0$ und ${}R=P$ eine Lösung, sodass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei ${}\operatorname {grad} \,(P)=0$ ist nach der Vorbemerkung auch ${}\operatorname {grad} \,(TP)=0$, also ist ${}T$ ein konstantes Polynom, und damit ist (da ${}T\neq 0$ und ${}K$ ein Körper ist) ${}Q=P/T$ und ${}R=0$ eine Lösung. Es sei nun ${}\operatorname {grad} \,(P)=n$ und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben ${}P=a_{n}X^{n}+\cdots +a_{1}X+a_{0}$ und ${}T=b_{k}X^{k}+\cdots +b_{1}X+b_{0}$ mit ${}a_{n},b_{k}\neq 0,\,k\leq n$. Dann gilt mit ${}H={\frac {a_{n}}{b_{k}}}X^{n-k}$ die Beziehung

${}{\begin{aligned}P'&:=P-TH\\&=0X^{n}+{\left(a_{n-1}-{\frac {a_{n}}{b_{k}}}b_{k-1}\right)}X^{n-1}+\cdots +{\left(a_{n-k}-{\frac {a_{n}}{b_{k}}}b_{0}\right)}X^{n-k}+a_{n-k-1}X^{n-k-1}+\cdots +a_{0}.\end{aligned}}$

Dieses Polynom ${}P'$ hat einen Grad kleiner als ${}n$ und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt ${}Q'$ und ${}R'$ mit

$P'=TQ'+R'{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(R')<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R'=0.$

Daraus ergibt sich insgesamt

${}P=P'+TH=TQ'+TH+R'=T(Q'+H)+R'\,,$

sodass also ${}Q=Q'+H$ und ${}R=R'$ eine Lösung ist. Zur Eindeutigkeit sei ${}P=TQ+R=TQ'+R'$ mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist ${}T(Q-Q')=R'-R$. Da die Differenz ${}R'-R$ einen Grad kleiner als ${}\operatorname {grad} \,(T)$ besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei ${}R=R'$ und ${}Q=Q'$ lösbar.

$\Box$

Die Berechnung der Polynome ${}Q$ und ${}R$ heißt Polynomdivision. Wir geben dazu ein Beispiel über den komplexen Zahlen.

Beispiel

Wir führen die Polynomdivision

$P=(4+3{\mathrm {i} })X^{3}+X^{2}+5{\mathrm {i} }{\text{ durch }}T=(1+{\mathrm {i} })X^{2}+X-3+2{\mathrm {i} }$

aus. Das Inverse zu ${}1+{\mathrm {i} }$ ist ${}{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }$ und daher ist

${}{\begin{aligned}(4+3{\mathrm {i} })(1+{\mathrm {i} })^{-1}&=(4+3{\mathrm {i} }){\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}\\&=2+{\frac {3}{2}}-2{\mathrm {i} }+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\\&={\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$

Daher beginnt ${}Q$ mit ${}{\left({\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X$ und es ist

${}{\begin{aligned}((1+{\mathrm {i} })X^{2}+X-3+2{\mathrm {i} }){\left({\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X&=(4+3{\mathrm {i} })X^{3}+{\left({\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(-{\frac {19}{2}}+{\frac {17}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X\\\,\end{aligned}}$

Dies muss man nun von ${}P$ abziehen und erhält

${}{\begin{aligned}P-{\left((4+3{\mathrm {i} })X^{3}+{\left({\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(-{\frac {19}{2}}+{\frac {17}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X\right)}&={\left(-{\frac {5}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left({\frac {19}{2}}-{\frac {17}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X+5{\mathrm {i} }\\\,\end{aligned}}$

Auf dieses Polynom (nennen wir es ${}P'$) wird das gleiche Verfahren angewendet. Man berechnet

${}{\begin{aligned}{\left(-{\frac {5}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}{\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}&=-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\\\end{aligned}}$

Daher ist der konstante Term von ${}Q$ gleich ${}-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }$ und es ergibt sich

${\left((1+{\mathrm {i} })X^{2}+X-3+2{\mathrm {i} }\right)}{\left(-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\right)}={\left(-{\frac {5}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X-{\frac {13}{2}}{\mathrm {i} }\,.$

Dies ziehen wir von ${}P'$ ab und erhalten

$P'-{\left({\left(-{\frac {5}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X^{2}+{\left(-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X-{\frac {13}{2}}{\mathrm {i} }\right)}={\left({\frac {21}{2}}-10{\mathrm {i} }\right)}X+{\frac {23}{2}}{\mathrm {i} }\,.$

Dies ist der Rest ${}R$, die vollständige Division mit Rest ist also

${}{\begin{aligned}(4+3{\mathrm {i} })X^{3}+X^{2}+5{\mathrm {i} }&=((1+{\mathrm {i} })X^{2}+X-3+2{\mathrm {i} }){\left({\left({\frac {7}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\right)}X-1+{\frac {3}{2}}{\mathrm {i} }\right)}+{\left({\frac {21}{2}}-10{\mathrm {i} }\right)}X+{\frac {23}{2}}{\mathrm {i} }\\\,\end{aligned}}$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom und ${}a\in K$.

Dann ist ${}a$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$, wenn ${}P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.

Beweis

Wenn ${}P$ ein Vielfaches von ${}X-a$ ist, so kann man

${}P=(X-a)Q\,$

mit einem weiteren Polynom ${}Q$ schreiben. Einsetzen ergibt

${}P(a)=(a-a)Q(a)=0\,.$

Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung

${}P=(X-a)Q+R\,,$

wobei ${}R=0$ oder aber den Grad ${}0$ besitzt, also so oder so eine Konstante ist. Einsetzen ergibt

${}P(a)=R\,.$

Wenn also ${}P(a)=0$ ist, so muss der Rest ${}R=0$ sein, und das bedeutet, dass ${}P=(X-a)Q$ ist.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom ($\neq 0$) vom Grad ${}d$.

Dann besitzt ${}P$ maximal ${}d$ Nullstellen.

Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über ${}d$. Für ${}d=0,1$ ist die Aussage offensichtlich richtig. Es sei also ${}d\geq 2$ und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Es sei ${}a$ eine Nullstelle von ${}P$ (falls ${}P$ keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig). Dann ist ${}P=Q(X-a)$ nach Fakt und ${}Q$ hat den Grad ${}d-1$, sodass wir auf ${}Q$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom ${}Q$ hat also maximal ${}d-1$ Nullstellen. Für ${}b\in K$ gilt ${}P(b)=Q(b)(b-a)$. Dies kann nach Fakt  (5) nur dann ${}0$ sein, wenn einer der Faktoren ${}0$ ist, sodass eine Nullstelle von ${}P$ gleich ${}a$ ist oder aber eine Nullstelle von ${}Q$ ist. Es gibt also maximal ${}d$ Nullstellen von ${}P$.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$.

Dann besitzt jedes ${}P\in K[X]$, ${}P\neq 0$, eine Produktzerlegung

${}P=(X-\lambda _{1})^{\mu _{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{\mu _{k}}\cdot Q\,$

mit ${}\mu _{j}\geq 1$ und einem nullstellenfreien Polynom ${}Q$.

Dabei sind die auftretenden verschiedenen Zahlen ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}$ und die zugehörigen Exponenten ${}\mu _{1},\ldots ,\mu _{k}$ (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmt.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Es gilt allgemeiner, dass die Zerlegung eines Polynoms in irreduzible Faktoren im Wesentlichen eindeutig ist.