Polynomring/Körper/Nullstellen/Einführung/Textabschnitt

Unter einer Nullstelle eines Polynoms ${}P$ versteht man ein ${}a\in K$ mit ${}P(a)=0$. Ein Polynom muss keine Nullstellen besitzen, ferner hängt dies vom Grundkörper ab. Das Polynom ${}X^{2}+1$ hat keine reelle Nullstelle, dagegen gibt es die komplexen Nullstellen ${}{\mathrm {i} }$ und ${}-{\mathrm {i} }$. Als Element in ${}\mathbb {R} [X]$ kann man ${}X^{2}+1$ nicht als Produkt von einfacheren Polynomen schreiben, in ${}{\mathbb {C} }[X]$ hingegen hat man die Zerlegung

${}X^{2}+1=(X-{\mathrm {i} })(X+{\mathrm {i} })\,.$

Bemerkung  

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ und ${}a\in K$. Dann ist die Einsetzungsabbildung

$K[X]\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(a),$

${}K$-linear. Darüber hinaus gilt

${}(PQ)(a)=P(a)Q(a)\,,$

siehe Aufgabe.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom und ${}a\in K$.

Dann ist ${}a$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$, wenn ${}P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.

Beweis

Wenn ${}P$ ein Vielfaches von ${}X-a$ ist, so kann man

${}P=(X-a)Q\,$

mit einem weiteren Polynom ${}Q$ schreiben. Einsetzen ergibt

${}P(a)=(a-a)Q(a)=0\,.$

Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung

${}P=(X-a)Q+R\,,$

wobei ${}R=0$ oder aber den Grad ${}0$ besitzt, also so oder so eine Konstante ist. Einsetzen ergibt

${}P(a)=R\,.$

Wenn also ${}P(a)=0$ ist, so muss der Rest ${}R=0$ sein, und das bedeutet, dass ${}P=(X-a)Q$ ist.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom ($\neq 0$) vom Grad ${}d$.

Dann besitzt ${}P$ maximal ${}d$ Nullstellen.

Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über ${}d$. Für ${}d=0,1$ ist die Aussage offensichtlich richtig. Es sei also ${}d\geq 2$ und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Es sei ${}a$ eine Nullstelle von ${}P$ (falls ${}P$ keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig). Dann ist ${}P=Q(X-a)$ nach Fakt und ${}Q$ hat den Grad ${}d-1$, sodass wir auf ${}Q$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom ${}Q$ hat also maximal ${}d-1$ Nullstellen. Für ${}b\in K$ gilt ${}P(b)=Q(b)(b-a)$. Dies kann nach Fakt nur dann ${}0$ sein, wenn einer der Faktoren ${}0$ ist, sodass eine Nullstelle von ${}P$ gleich ${}a$ ist oder aber eine Nullstelle von ${}Q$ ist. Es gibt also maximal ${}d$ Nullstellen von ${}P$.

$\Box$