Potenzreihen/R/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von reellen Zahlen und ${}x$ eine weitere reelle Zahl. Dann heißt die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$

die Potenzreihe in ${}x$ zu den Koeffizienten ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$.

Bei Potenzreihen ist es wichtig, dass man ${}x$ variieren kann und dass die Potenzreihe in einem Konvergenzintervall eine Funktion in ${}x$ darstellt. Jedes Polynom ist eine Potenzreihe, bei der allerdings alle Koeffizienten ab einem bestimmten Glied gleich ${}0$ sind. In diesem Fall hat man kein Konvergenzproblem.

Eine wichtige Potenzreihe haben wir schon in der ${}9$ten Vorlesung kennengelernt, nämlich die geometrische Reihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}$ (hier sind alle Koeffizienten gleich ${}1$), die für ${}\vert {x}\vert <1$ konvergiert und dort die Funktion ${}1/(1-x)$ darstellt, siehe Fakt. Eine weitere besonders wichtige Potenzreihe ist die Exponentialreihe, die für jede reelle Zahl konvergiert und zur reellen Exponentialfunktion führt. Ihre Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus.

Das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe wird durch den folgenden Satz beschrieben.

Satz

Es sei

${}f(x):=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}\,$

eine Potenzreihe und es gebe ein ${}x_{0}\neq 0$ derart, dass ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x_{0}^{n}$ konvergiere.

Dann gibt es ein positives ${}R$ (wobei ${}R=\infty$ erlaubt ist) derart, dass für alle ${}x\in \mathbb {R}$ mit ${}\vert {x}\vert <R$ die Reihe absolut konvergiert. Auf einem solchen (offenen) Konvergenzintervall stellt die Potenzreihe ${}f(x)$ eine stetige Funktion dar.

Beweis

Der Beweis beruht auf einer systematischen Untersuchung für Potenzreihen und dem Limes von Funktionenfolgen. Wir werden ihn nicht durchführen.

$\Box$

Wenn zwei Funktionen durch Potenzreihen gegeben sind, so wird ihre Summe einfach durch die (koeffizientenweise definierte) Summe der Potenzreihen beschrieben. Es ist keineswegs selbstverständlich, durch welche Potenzreihe ihr Produkt beschrieben werden kann. Die Antwort gibt das Cauchy-Produkt von Reihen.

Definition

Zu zwei Reihen ${}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ und ${}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}$ reeller Zahlen heißt die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}{\text{ mit }}c_{k}:=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$

das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.

Auch für die folgende Aussage geben wir keinen Beweis.

Lemma

Es seien

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$

zwei absolut konvergente Reihen reeller Zahlen.

Dann ist auch das Cauchy-Produkt ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ absolut konvergent und für die Summe gilt

${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)}\,.$

Dies hat die Auswirkung, dass das Produkt von Potenzreihen durch eine Potenzreihe gegeben ist, deren Koeffizienten sich wie bei der Multiplikation von Polynomen ergeben, siehe Aufgabe.