Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Trennende Ausdrücke/Relationen und Funktionen wohldefiniert/Fakt

Es sei ${}S$ ein Symbolalphabet erster Stufe und ${}M$ eine ${}S$-Struktur. Für jede elementare Äquivalenzklasse ${}[m]\subseteq M$ gebe es einen ${}S$-Ausdruck ${}\alpha _{[m]}$ in einer freien Variablen ${}x$, der die Klasse ${}[m]$ beschreibt, für den also

$n\in [m]{\text{ genau dann, wenn }}I{\frac {n}{x}}\vDash \alpha _{[m]}$

gilt.

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für jedes ${}k$-stellige Relationssymbol ${}R$ ist ${}R^{M}$ auf den Äquivalenzklassen wohldefiniert.
2. Für jedes ${}k$-stellige Funktionssymbol ${}f$ ist ${}f^{M}$ auf den Äquivalenzklassen wohldefiniert (und zwar in dem Sinn, dass aus ${}m_{1}\sim m_{1}',\ldots ,m_{k}\sim m_{k}'$ die elementare Äquivalenz ${}f^{M}(m_{1},\ldots ,m_{k})\sim f^{M}(m'_{1},\ldots ,m'_{k})$ folgt).

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen