Prädikatenlogik/Modell/Elementare Äquivalenz für Elemente/Endliche Permutation/Beispiel
Es sei ein Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem einzigen einstelligen Funktionssymbol besteht und es sei eine -Struktur, wobei als die Permutation mit
interpretiert werde. Hier sind die Äquivalenzklassen zur elementaren Äquivalenz gleich der sogenannten Zykelzerlegung, nämlich gleich , und . Die Ordnung der Elemente kann man in der Sprache zu ausdrücken und erhält dadurch trennende Ausdrücke, beispielsweise ist ein Ausdruck in der einen freien Variablen , der genau dann wahr wird, wenn durch belegt wird. Der Ausdruck
ist ein Ausdruck, der genau dann wahr wird, wenn durch oder belegt wird, u.s.w. Dass oder zueinander elementar äquivalent sind, sieht man am einfachsten, wenn man den Automorphismus betrachtet, der durch die Transposition gegeben ist. Dieser ist nämlich ein -Automorphismus und daher können wir den Isomorphiesatz anwenden.
