Projektiver Raum/Geradenmenge/Tafelbilder/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Der projektive ${}n$-dimensionale Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ besteht aus allen Geraden des ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$ durch den Nullpunkt, wobei diese Geraden als Punkte aufgefasst werden. Ein solcher Punkt wird repräsentiert durch homogene Koordinaten ${}(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n})$, wobei nicht alle ${}a_{i}=0$ sein dürfen, und wobei zwei solche Koordinatentupel genau dann den gleichen Punkt repräsentieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ${}\lambda \in K^{\times }$ ineinander übergehen.

Wir werden den projektiven Raum nach und nach mit zusätzlichen Strukturen versehen.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ein projektiver Raum. Es sei ${}i\in \{0,1,\ldots ,n\}$ fixiert.

Dann gibt es eine natürliche Abbildung

$\varphi _{i}\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n},\,(u_{1},\ldots ,u_{n})\longmapsto (u_{1},\ldots ,u_{i},1,u_{i+1},\ldots ,u_{n}).$

Diese Abbildung ist injektiv und induziert eine Bijektion zu denjenigen Punkten des projektiven Raumes, bei denen die ${}i$-te homogene Koordinate nicht ${}0$ ist. Die Umkehrabbildung wird durch

${\mathbb {P} }_{K}^{n}\supset D_{+}(X_{i}):={\left\{(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{i}\neq 0\right\}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto {\left({\frac {x_{0}}{x_{i}}},{\frac {x_{1}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{i-1}}{x_{i}}},{\frac {x_{i+1}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{n}}{x_{i}}}\right)},$

gegeben.

Der projektive Raum wird überdeckt von diesen ${}n+1$ affinen Räumen. Das Komplement eines solchen affinen Raumes ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\cong D_{+}(X_{i})\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ist ein ${}(n-1)$-dimensionaler projektiver Raum.

Beweis

Die Abbildung ist offensichtlich wohldefiniert, da die ${}1$ sicher stellt, dass mindestens eine homogene Koordinate nicht ${}0$ ist. Die Abbildung ist injektiv, da aus einer Gleichung der Form (für homogene Koordinaten)

${}(u_{1},\ldots ,u_{i},1,u_{i+1},\ldots ,u_{n})=\lambda (v_{1},\ldots ,v_{i},1,v_{i+1},\ldots ,v_{n})\,$

sofort ${}\lambda =1$ wegen der ${}1$ folgt. Die Umkehrabbildung ist auf der angegebenen Teilmenge wohldefiniert, und ist invers zu der Abbildung. Die Überdeckungseigenschaft ist klar, da für jeden Punkt des projektiven Raumes mindestens eine homogene Koordinate nicht ${}0$ ist. Das Komplement zu ${}D_{+}(X_{i})$ ist

${}V_{+}(X_{i})={\left\{(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{i-1},0,x_{i+1},\ldots ,x_{n})\mid x_{j}\in K,\,x_{j}\neq 0{\text{ für ein }}j\right\}}\,$

mit keinerlei weiteren Einschränkung an die übrigen ${}n$ Variablen und mit der Identifizierung von zwei solchen Tupeln, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander übergehen.

$\Box$

Beispiel

Die projektive Gerade ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ ist als die Menge der Geraden durch den Nullpunkt in der affinen Ebene ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}$ gegeben. Eine solche Gerade ist entweder die ${}x$-Achse oder aber eine Gerade, die die Gerade ${}V(y-1)$ (also die zur ${}x$-Achse parallele Gerade durch $(0,1)$) in genau einem Punkt schneidet. Umgekehrt liefert jeder Punkt ${}P\in V(y-1)\cong {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ eine eindeutig bestimmte Gerade durch den Nullpunkt. D.h. die projektive Gerade besteht aus einer affinen Gerade und einem weiteren Punkt, den man den „unendlich fernen“ Punkt nennt. Wichtig ist dabei aber, dass dieser unendlich ferne Punkt nicht wesensverschieden von den anderen Punkten ist. Wenn man eine beliebige Gerade ${}G$ durch den Nullpunkt nimmt sowie eine dazu parallele Gerade ${}L\neq G$, so übernimmt ${}L$ die Rolle der affinen Geraden, und ${}G$ repräsentriert dann einen (von dieser affinen Geraden aus gesehen) unendlich fernen Punkt.

Beispiel

Die Punkte in der projektiven Ebene ${}{\mathbb {P} }_{K}^{2}$ entsprechen den Geraden durch den Nullpunkt im affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$. Jeder Punkt der projektiven Ebene wird repräsentiert durch ein Tupel ${}(x,y,z)$, wobei nicht alle ${}x,y,z$ gleichzeitig ${}0$ sein dürfen und wobei zwei Koordinatentupel identifiziert werden, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ${}\lambda \neq 0$ ineinander überführt werden können. Die projektive Ebene wird überdeckt durch drei affine Ebenen, nämlich

$D_{+}(X),\,D_{+}(Y){\text{ und }}D_{+}(Z).$

Dabei besteht ${}D_{+}(Z)$ aus allen Punkten, deren dritte Koordinate nicht ${}0$ ist. Durch Multiplikation mit ${}z^{-1}$ kann man diese Punkte mit

${}\left({\frac {x}{z}},\,{\frac {y}{z}},\,{\frac {z}{z}}\right)=\left(u,\,v,\,1\right)\,$

identifizieren, sodass wirklich eine affine Ebene vorliegt. Das Komplement der affinen Ebene ${}D_{+}(Z)$ ist die Menge ${}V_{+}(Z)$ der Punkte, wo die dritte Komponente ${}0$ ist. Da man nach wie vor Punkte identifiziert, die durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander überführbar sind, ist ${}V_{+}(Z)$ eine projektive Gerade. Ein Punkt ${}(x,y,0)$ auf dieser Geraden und der Nullpunkt ${}(0,0,1)$ von ${}D_{+}(Z)$ definieren die Gerade durch den Nullpunkt mit dem Richtungsvektor ${}(x,y)$ (und der homogenen Geradengleichung $yX-xY=0$ bzw. $V_{+}(yX-xY)$). Man kann sich also die projektive Ebene gut vorstellen als eine affine Ebene, in der jede Gerade durch den Nullpunkt noch einen zusätzlichen („unendlich fernen“) Punkt definiert.