Projektiver Raum/K/Hyperfläche/Glatt/Charakterisierungen/Fakt/Beweis

Beweis

Die Äquivalenz von (2) und (3) ist klar wegen Fakt und da die Glattheit eine lokale Eigenschaft ist. Die Äquivalenz von (2) und (4) beruht auf Fakt. Die Äquivalenz von (1) und (3) beruht darauf, dass die Kegelabbildung lokal über ${}D_{+}(X_{i})$ durch

$D(X_{i})=\operatorname {Spek} {\left(R_{X_{i}}\right)}=\operatorname {Spek} {\left({\left(R_{X_{i}}\right)}_{0}[X_{i},X_{i}^{-1}]\right)}\longrightarrow D_{+}(X_{i})=\operatorname {Spek} {\left({\left(R_{X_{i}}\right)}_{0}\right)}$

gegeben ist. Lokal ist die Kegelabbildung also ein punktierter affiner Zylinder über der Basis.

Von (4) (bzw. (2)) nach (5). Nach Fakt gibt es die exakte Sequenz

${\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\longrightarrow j_{Y}^{*}\Omega _{{\mathbb {P} }_{K}^{n}{|}K}\longrightarrow \Omega _{Y{|}K}\longrightarrow 0.$

Dabei ist ${}{\mathcal {I}}$ das von ${}F$ erzeugte Hauptideal und es ist ${}{\mathcal {I}}\cong {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(-\delta )$ über die Zuordnung

${\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}(\delta ),\,1\longmapsto F.$

Ferner ist die Einschränkung dieser Idealgarbe auf ${}Y$ gleich

${}{\mathcal {O}}_{Y}(-\delta )={\mathcal {I}}\otimes {\mathcal {O}}_{Y}={\mathcal {I}}\otimes {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}/{\mathcal {I}}={\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\,.$

Als Einschränkung einer invertierbaren Garbe ist dies wieder invertierbar. Lokal ist die linke Abbildung wie in Bemerkung durch die Jacobi-Matrix zur Dehomogenisierung von ${}F$ gegeben, und wegen der Glattheit ist diese (sogar auch in den Restekörpern) injektiv. Von (5) nach (4) ist eine Einschränkung.

Zur bewiesenen Aussage