Pythagoreische Tripel/Übersicht und Parametrisierung/Textabschnitt

Definition

Ein pythagoreisches Tripel ist eine ganzzahlige Lösung ${}(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}$ der diophantischen Gleichung

${}x^{2}+y^{2}=z^{2}\,.$

Es heißt primitiv, wenn ${}x,y,z$ keinen gemeinsamen Teiler besitzen.

Bemerkung  

Lösungstripel, bei denen (mindestens) ein Eintrag ${}0$ ist, heißen trivial. Nach der Umkehrung des Satzes des Pythagoras bildet ein solches Tripel die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreieckes. Es geht also um rechtwinklige Dreiecke mit der Eigenschaft, dass alle drei Seiten eine ganzzahlige Länge haben (dabei sind ${}x,y$ die Seitenlängen der Katheten und ${}z$ ist die Seitenlänge der Hypotenuse). Das bekannteste pythagoreische Tripel ist zweifellos ${}(3,4,5)$. Wenn zwei Zahlen davon einen gemeinsamen Teiler haben, so hat natürlich auch die dritte diesen Teiler, und das Tripel ist nicht primitiv.

Ferner sind ${}x$ und ${}y$ nicht zugleich ungerade, siehe Aufgabe.

Die roten Punkte sind primitive pythagoreische Tripel, die blauen nicht-primitive

Wir wollen alle (primitiven) pythagoreischen Tripel finden. Man kann das Problem umformulieren, indem man durch ${}z^{2}$ teilt. Dann ist das Problem äquivalent zu:

Bestimme alle rationalen Lösungen für die Gleichung

$r^{2}+s^{2}=1\,\,(r,s\in {\mathbb {Q} }).$

Es geht also um alle Punkte auf dem Einheitskreis (in der Ebene mit Mittelpunkt ${}(0,0)$ und Radius ${}1$, deren beide Koordinaten rationale Zahlen sind. Die trivialen Lösungen sind die komplexen Zahlen ${}1,{\mathrm {i} },-1,-{\mathrm {i} }$.

Bemerkung  

Der (Einheits-)Kreis ist ein eindimensionales Objekt und es gibt verschiedene (Teil-)Parametrisierungen für ihn, etwa durch

$x\longmapsto {\left(x,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)},$

oder die trigonometrische Parametrisierung

$t\longmapsto (\cos(t),\sin(t)),$

Hier brauchen wir aber eine Parametrisierung, die rationale Zahlen in solche Punkte überführt, deren beide Koordinaten rational sind.

Wir betrachten hierzu die Abbildung, die einen Punkt ${}t$ auf der ${}y$-Achse auf den Durchstoßungspunkt ${}(x,y)$ abbildet, den der Einheitskreis mit der durch ${}(0,t)$ und ${}(-1,0)$ definierten Geraden bildet. Aufgrund des Strahlensatzes haben wir die Bedingung

${}{\frac {t}{1}}={\frac {y}{1+x}}\,$

bzw. ${}y=t(1+x)$. Setzt man diese Gleichung in die Gleichung des Einheitskreises ein, so erhält man

${}1=x^{2}+y^{2}=x^{2}+t^{2}(x+1)^{2}\,$

und damit

${}0=(x^{2}-1)+t^{2}(x+1)^{2}=(x+1){\left((x-1)+t^{2}(x+1)\right)}\,.$

Da uns die erste Lösung ${}x=-1$ nicht interessiert, betrachten wir den zweiten Faktor

${}0=(x-1)+t^{2}(x+1)=x(1+t^{2})+t^{2}-1\,,$

die zu

$x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\,\,\,{\text{ und }}\,\,\,y=t\cdot (x+1)=t\cdot {\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}+1\right)}={\frac {2t}{1+t^{2}}}$

führt. Die Abbildung

$t\longmapsto {\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}=(x,y)$

ist also eine rationale Parametrisierung des Einheitskreises.

Wir fassen zusammen:

Satz

Die Abbildung

$\mathbb {Q} \longrightarrow S_{\mathbb {Q} }^{1},\,t\longmapsto \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\,{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)=(x,y),$

von der Menge der rationalen Zahlen in die Menge der Punkte auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten ist injektiv, und mit der Ausnahme von ${}(-1,0)$ liegt jeder Punkt im Bild.

Beweis

Dies wurde bereits oben bewiesen, die Injektivität ist klar von der geometrischen Interpretation her und ist als Aufgabe zu beweisen.

$\Box$

Korollar

Die Menge der Punkte auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten bilden eine dichte Teilmenge.

Beweis

Die Parametrisierung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto \varphi (t)=\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\,{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right),$

ist stetig, da sie komponentenweise durch rationale Funktionen gegeben ist. Es sei ${}s\in S^{1}$ ein Punkt des Einheitskreises. Der Punkt ${}s=(-1,0)$ (der Punkt, der von der Parametrisierung nicht erfasst wird), ist selbst rational. Es sei also ${}s\neq (-1,0)$, und sei ${}t\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl mit ${}\varphi (t)=s$. Es sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Aufgrund der Stetigkeit gibt es dann auch ein ${}\delta >0$ derart, dass die Ballumgebung ${}B(t,\delta )$ nach ${}B(s,\epsilon )$ hinein abgebildet wird, also ${}\varphi (B(t,\delta ))\subseteq B(s,\epsilon )$. Da die rationalen Zahlen innerhalb der reellen Zahlen dicht liegen, gibt es eine rationale Zahl ${}q\in B(t,\delta )$. Dann ist ${}\varphi (q)$ ein Punkt auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten, der in der ${}\epsilon$-Umgebung von ${}s$ liegt.

$\Box$