Quadratischer Zahlbereich/Imaginär/Gitter-Einbettung/Beispiel

Es sei ${}D<0$ quadratfrei und ${}A_{D}$ der zugehörige imaginär-quadratische Zahlbereich. Dann liefert eine fixierte Einbettung ${}A_{D}\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]\subseteq {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$ direkt eine Realisierung als Gitter im Sinne von Fakt. Dem Element ${}q_{1}+q_{2}{\sqrt {D}}=q_{1}+q_{2}{\sqrt {\vert {D}\vert }}{\mathrm {i} }$ entspricht in der reellen Ebene das Element ${}{\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}{\sqrt {-D}})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}{\sqrt {\vert {D}\vert }})\end{pmatrix}}$. Die Ganzheitsbasis ${}1,{\sqrt {D}}$ bei ${}D=2,3\mod 4$ bzw. ${}1,{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ bei ${}D=1\mod 4$ (vergleiche Fakt) wird unter der reellen Gesamteinbettung auf die reelle Ganzheitsmatrix

${\begin{pmatrix}1&0\\0&{\sqrt {\vert {D}\vert }}\end{pmatrix}}$

bzw.

${\begin{pmatrix}1&{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {\vert {D}\vert }}{2}}\end{pmatrix}}$

abgebildet.