Reelle Funktionen/Differenzierbarkeit/Einführung/Textabschnitt

In diesem Abschnitt betrachten wir Funktionen

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,$

wobei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge ist. Wir wollen erklären, wann eine solche Funktion in einem Punkt ${}a\in D$ differenzierbar ist. Die intuitive Idee ist dabei, für einen weiteren Punkt ${}x\in D$ die Sekante durch die beiden Punkte ${}(a,f(a))$ und ${}(x,f(x))$ des Funktionsgraphen zu ziehen und dann „${}x$ gegen ${}a$ laufen zu lassen“. Wenn sich dieser Grenzwertprozess sinnvoll durchführen lässt, so wird aus den Sekanten eine Tangente. Dieser Grenzwertprozess wird über den Begriff des Grenzwertes einer Funktion präzise gefasst, den wir im Anschluss an die Stetigkeit eingeführt haben.

Definition

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zu ${}x\in D$, ${}x\neq a$, heißt die Zahl

${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

der Differenzenquotient von ${}f$ zu ${}a$ und ${}x$.

Der Differenzenquotient ist die Steigung der Sekante am Graph durch die beiden Punkte ${}(a,f(a))$ und ${}(x,f(x))$. Für ${}x=a$ ist dieser Quotient nicht definiert. Allerdings kann ein sinnvoller Limes für ${}x\rightarrow a$ existieren. Dieser repräsentiert dann die Steigung der Tangente an ${}f$ im Punkt ${}(a,f(a))$ (oder an der Stelle ${}a$).

Definition

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ differenzierbar in ${}a$ ist, wenn der Limes

$\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von ${}f$ in ${}a$, geschrieben

$f'(a).$

Die Ableitung in einem Punkt ${}a$ ist, falls sie existiert, ein Element in ${}\mathbb {R}$. Häufig nimmt man die Differenz ${}h:=x-a$ als Parameter für den Limes des Differenzenquotienten, und lässt ${}h$ gegen ${}0$ gehen, d.h. man betrachtet

$\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$

Die Bedingung ${}x\in D\setminus \{a\}$ wird dann zu ${}a+h\in D$, ${}h\neq 0$. Wenn die Funktion ${}f$ einen eindimensionalen Bewegungsvorgang beschreibt, also eine von der Zeit abhängige Bewegung auf einer Strecke, so ist der Differenzenquotient ${}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$ die (effektive) Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Zeitpunkten ${}a$ und ${}x$ und ${}f'(a)$ ist die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt ${}a$.

Beispiel

Es seien ${}s,c\in \mathbb {R}$ und sei

$\alpha \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto sx+c,$

eine affin-lineare Funktion. Zur Bestimmung der Ableitung in einem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$ betrachtet man

${}{\frac {(sx+c)-(sa+c)}{x-a}}={\frac {sx-sa}{x-a}}=s\,.$

Dies ist konstant gleich ${}s$, sodass der Limes für ${}x$ gegen ${}a$ existiert und gleich ${}s$ ist. Die Ableitung in jedem Punkt existiert demnach und ist gleich ${}s$. Die Steigung der affin-linearen Funktion ist also die Ableitung.

Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}.$

Der Differenzenquotient zu ${}a$ und ${}a+h$ ist

${}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {2ah+h^{2}}{h}}=2a+h\,.$

Der Limes davon für ${}h$ gegen ${}0$ ist ${}2a$. Die Ableitung von ${}f$ in ${}a$ ist daher ${}f'(a)=2a$.