Riemann Integral/Existenz für stetige Funktionen/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion.

Dann ist ${}f$ Riemann-integrierbar.

Beweis

Wir können annehmen, dass das Intervall kompakt ist, sagen wir ${}I=[a,b]$. Die stetige Funktion ${}f$ ist auf diesem kompakten Intervall beschränkt nach Fakt. Daher gibt es obere und untere Treppenfunktionen und daher existieren Oberintegral und Unterintegral. Wir müssen zeigen, dass sie übereinstimmen.  Dazu genügt es, zu einem gegebenen ${}\epsilon >0$ eine untere und eine obere Treppenfunktion für ${}f$ anzugeben derart, dass die Differenz ihrer Treppenintegrale ${}\leq \epsilon$ ist. Nach Fakt ist ${}f$ gleichmäßig stetig. Daher gibt es zu ${}\epsilon '={\frac {\epsilon }{b-a}}$ ein ${}\delta >0$ derart, dass für alle ${}x,x'\in I$ mit ${}d{\left(x,x'\right)}\leq \delta$ die Abschätzung ${}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon '$ gilt. Es sei nun ${}n\in \mathbb {N}$ so, dass ${}{\frac {b-a}{n}}\leq \delta$ ist, und betrachten wir die Unterteilung des Intervalls mit den Punkten ${}a_{i}=a+i{\frac {b-a}{n}}$. Auf den Teilintervallen ${}[a_{i-1},a_{i}]$, ${}i=1,\ldots ,n$, ist der Abstand zwischen dem Maximum

${}t_{i}={\max {\left(f(x),a_{i-1}\leq x\leq a_{i}\right)}}\,$

und dem Minimum

${}s_{i}={\min {\left(f(x),a_{i-1}\leq x\leq a_{i}\right)}}\,$

kleiner/gleich ${}\epsilon '$. Die zu diesen Werten gehörigen Treppenfunktionen, also

${}t(x):={\begin{cases}t_{i}{\text{ für }}x\in [a_{i-1},a_{i}[{\text{ und }}1\leq i\leq n-1\,,\\t_{n}{\text{ für }}x\in [a_{n-1},a_{n}]\,,\end{cases}}\,$

und

${}s(x):={\begin{cases}s_{i}{\text{ für }}x\in [a_{i-1},a_{i}[{\text{ und }}1\leq i\leq n-1\,,\\s_{n}{\text{ für }}x\in [a_{n-1},a_{n}]\,,\end{cases}}\,$

sind dann eine obere bzw. untere Treppenfunktion zu ${}f$. Die Differenz zwischen den zugehörigen Ober- und Untersummen ist dann

${}\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {b-a}{n}}-\sum _{i=1}^{n}s_{i}{\frac {b-a}{n}}=\sum _{i=1}^{n}(t_{i}-s_{i}){\frac {b-a}{n}}\leq \sum _{i=1}^{n}\epsilon '{\frac {b-a}{n}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\epsilon }{n}}=\epsilon \,.$

$\Box$

Diese Aussage gilt auch für stückweise stetige Funktionen.