Für eine jede untere Treppenfunktion
der gegebenen Folge und jede obere Treppenfunktion
der zweiten Folge gilt
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{a}^{b}s_{n}(x)\,dx&\leq {\operatorname {sup} \,(\int _{a}^{b}s(x)\,dx,s{\text{ untere Treppenfunktion zu}}f)}\\&\leq \inf {\left(\int _{a}^{b}t(x)\,dx,\,t{\text{ obere Treppenfunktion zu}}f\right)}\\&=\int _{a}^{b}t_{n}(x)\,dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c55a0e8664530cf8f2122bc7465be61ed9e594e2)
Nach Voraussetzung konvergieren die Folgen links und rechts für
![{\displaystyle {}n\rightarrow \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c82d1b5fa67435f19231598dc97d21094154b5)
gegen den gleichen Wert. Deshalb müssen auch das Supremum und das Infimum existieren und übereinstimmen. Dies bedeutet nach Definition, dass das Riemann-Integral existiert.