Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Cech-Kohomologie/Beispiel

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche und ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$. Dies bedeutet, dass es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Trivialisierungen

$\varphi _{i}\colon {\mathcal {L}}{|}_{U_{i}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}$

gibt. Für offene Mengen ${}U_{i},U_{j}$ ergeben sich auf ${}U_{i}\cap U_{j}$ die Übergangsabbildungen

$\varphi _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\circ \varphi _{j}^{-1}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\colon {\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}.$

Diese Isomorphien sind durch Multiplikationen mit holomorphen Einheiten ${}r_{ij}\in \Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}$ gegeben. Da die Daten von der einen invertierbaren Garbe ${}{\mathcal {L}}$ herrühren, gilt dabei die Kozykelbedingung ${}r_{kj}\cdot r_{ji}=r_{ki}$, was man auch als ${}r_{kj}\cdot r_{ki}^{-1}\cdot r_{ji}=1$ schreiben kann. Es liegt also ein Čech-Kozykel in der Garbe der holomorphen Einheiten vor. Ein solcher Datensatz ${}r_{ij}$ legt umgekehrt durch eine Verklebung eine invertierbare Garbe fest.

Wenn die invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}$ trivial ist, so gibt es einen globalen ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modulisomorphismus ${}\psi \colon {\mathcal {O}}_{X}\rightarrow {\mathcal {L}}$. Dann liegen auf den ${}U_{i}$ die Isomorphismen

${\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}{\stackrel {\psi {|}_{U_{i}}}{\longrightarrow }}{\mathcal {L}}{|}_{U_{i}}{\stackrel {\varphi _{i}}{\longrightarrow }}{\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}$

vor, die insgesamt durch Einheiten ${}s_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}$ festgelegt sind. Für diese gilt die Beziehung

${}s_{i}\cdot s_{j}^{-1}={\left(\varphi _{i}\circ \psi \right)}\circ {\left(\varphi _{j}\circ \psi \right)}^{-1}=r_{ij}\,$

für alle ${}i,j$. Wenn umgekehrt solche realisierende Einheiten ${}s_{i}$ gegeben sind, so werden durch

${}\psi {|}_{U_{i}}:=\varphi _{i}^{-1}\circ s_{i}\,$

Modulisomorphismen von ${}{\mathcal {O}}_{U_{i}}$ nach ${}{\mathcal {L}}_{U_{i}}$ auf ${}U_{i}$ festgelegt, die verträglich sind und daher einen globalen Isomorphismus zwischen ${}{\mathcal {O}}_{X}$ und ${}{\mathcal {L}}$ festlegen. Eine invertierbare Garbe mit Trivialisierungen auf ${}U_{i}$ kann man also mit dem Datensatz ${}(U_{i},r_{ij})$, der die Kozykelbedingung erfüllt, identifizieren, wobei ein solcher Datensatz als trivial anzusehen ist, wenn es Einheiten ${}s_{i}$ mit

${}r_{ij}=s_{i}\cdot s_{j}^{-1}\,$

gibt. Diese Situation kann man insgesamt durch den Komplex

$\prod _{i\in I}\Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}\longrightarrow \prod _{i<j}\Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}\longrightarrow \prod _{i<j<k}\Gamma {\left(U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k},{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\right)}$

ausdrücken, der einfach der Anfang des Čech-Komplexes ist.