Jede Hauptteilverteilung besitzt endlich viele Trägerpunkte. Da der verbindende Homomorphismus und die Residuenabbildung
-linear sind, können wir davon ausgehen, das die Hauptteilverteilung in einem einzigen Punkt
konzentriert ist. Die Hauptteilverteilung wird dann durch eine meromorphe Differentialform
auf einer offenen Kreisscheibenumgebung
, wobei
auf
holomorph sei, und durch die Nullform auf
repräsentiert. Der erste
Čech-Kozykel
in
, also
, wird dann durch die holomorphe Differentialform
auf
-
![{\displaystyle {}U\cap V=U\setminus \{P\}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/148ef51efdf8189ff327a42465563000c2134c5a)
repräsentiert. Für diesen gibt es wiederum
-Formen
und
mit
-
![{\displaystyle {}\tau =\omega _{1}-\omega _{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6738ae1b7bda76a0842adb36eb0899c3647711e)
auf
. Da
holomorph ist, ist
-
![{\displaystyle {}d\tau =0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/965479b12be8cf4e12d187b699a22c91567a3695)
nach
Fakt.
Somit legen diese
-Formen die
-Form
fest, wobei lokal
-
![{\displaystyle {}d\omega _{1}=\sigma =d\omega _{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8d99d9769d03e189a5443b28e6d2137dd3505af)
gilt. Ferner gilt
-
![{\displaystyle {}\delta \tau =\delta \sigma \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3357245ae07350597dde312b54cfaa4663aadab6)
in
, wobei die beiden
verbindende Homomorphismen zu unterschiedlichen Garbensequenzen bezeichnen. Nach der Definition des Residuums für eine holomorphe Kohomologieklasse muss man
über der Fläche intergrieren.
Es seien
offene Kreisumgebungen
(in der Karte)
mit unterschiedlichen Radien. Es sei
eine reellwertige unendlich oft differenzierbare Funktion auf
, die auf
den konstanten Wert
und außerhalb von
den konstanten Wert
besitzt, was es nach
Fakt
gibt. Wir setzen
.
Die Form
ist auf
definiert, da sie aber auf
den Wert
hat, kann man sie zu einer globalen Form aus
fortsetzen. Ferner besitzt
auf
die Eigenschaft
-
![{\displaystyle {}d(f\omega _{2})=d\omega _{2}=d{\left(\omega _{1}-\tau \right)}=d\omega _{1}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111636e506e7b923bb50c8099c51dfa9eb0258be)
da
holomorph ist. Dies sichert, dass man die Form
als globale Form auffassen kann. Insgesamt gilt
-
![{\displaystyle {}\sigma =dg\omega _{2}+df\omega _{2}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6889d59e230f08c7495901a8b9540566dcbfc12e)
wobei dies auf
unmittelbar wegen
gilt und auf
ebenso aufgrund der konstruierten Fortsetzungen. Nach
dem Satz von Stokes (ohne Rand)
ist
-
![{\displaystyle {}\int _{X}d(g\omega _{2})=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b85a0f7f1bbf70ba4136e416d89ea600e59a4bf)
Also ist unter Verwendung
des Satzes von Stokes (mit Rand)
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\operatorname {Res} _{}\left(\delta (\tau )\right)&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}\sigma \\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}dg\omega _{2}+df\omega _{2}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{X}df\omega _{2}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{U}df\omega _{2}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{U}d{\left(f\omega _{1}-f\tau \right)}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }f\omega _{1}-f\tau \\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }-f\tau \\&=\operatorname {Res} _{P}\left(f\tau \right)\\&=\operatorname {Res} _{P}\left(\tau \right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f572c1c881580d2da1bc15f930d7be6cbfa05da1)
wobei
eine einfache Umrundung mit dem Uhrzeigersinn von
in
ist und worauf
gleich
ist.