Ring/Lineare Algebra/Einführung/Textabschnitt

Definition

Eine Menge ${}R$ heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

$+:R\times R\longrightarrow R{\text{ und }}\cdot :R\times R\longrightarrow R$

und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente ${}0,1\in R$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in R$ gilt ${}a+b=b+a$.
   3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in R$ ist ${}a+0=a$.
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in R$ gibt es ein Element ${}b\in R$ mit ${}a+b=0$.
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
   2. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in R$ ist ${}a\cdot 1=1\cdot a=a$.
3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und ${}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$.

Definition

Ein Ring ${}R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

Die wichtigsten kommutativen Ringe sind für uns die Mengen der ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$, die rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ und die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$. Dass all diese Axiome für die reellen Zahlen (und die rationalen Zahlen) mit den natürlichen Verknüpfungen gelten, ist aus der Schule bekannt. Eine axiomatische Begründung ist möglich, wird aber hier nicht durchgeführt. Mit der Addition ist ein Ring ${}(R,0,+)$ insbesondere eine kommutative Gruppe.

In einem Ring gilt die Klammerkonvention, dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition (Punktrechnung vor Strichrechnung). Man kann daher ${}a\cdot b+c\cdot d$ statt ${}(a\cdot b)+(c\cdot d)$ schreiben. Zur weiteren Notationsvereinfachung wird das Produktzeichen häufig weggelassen. Die besonderen Elemente ${}0$ und ${}1$ in einem Ring werden als Nullelement und als Einselement bezeichnet. Zu einem Element ${}a\in R$ nennt man das nach Fakt eindeutig bestimmte Element ${}y$ mit ${}a+y=0$ das Negative von ${}a$ und bezeichnet es mit ${}-a$. Es ist ${}-(-a)=a$, da wegen ${}a+(-a)=0$ das Element ${}a$ gleich dem eindeutig bestimmten Negativen von ${}-a$ ist. Statt ${}b+(-a)$ schreibt man abkürzend ${}b-a$ und spricht von der Differenz. Die Differenz ist also keine grundlegende Verknüpfung, sondern wird auf die Addition mit dem Negativen zurückgeführt.

Die folgenden Eigenschaften sind für den Ring der reellen Zahlen vertraut, wir beweisen sie aber allein aus den Axiomen eines Rings. Sie gelten daher für jeden Ring.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Ring und seien ${}a,b,c,a_{1},\ldots ,a_{r},b_{1},\ldots ,b_{s}$ Elemente aus ${}R$.

Dann gelten folgende Aussagen.

1. ${}0a=a0=0\,$

   (Annullationsregel),

2. ${}a(-b)=-(ab)=(-a)b\,,$

3. ${}(-a)(-b)=ab\,$

   (Vorzeichenregel),

4. ${}a(b-c)=ab-ac$ und ${}(b-c)a=ba-ca$,

5. ${}{\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}=\sum _{1\leq i\leq r,\,1\leq k\leq s}a_{i}b_{k}\,$

   (allgemeines Distributivgesetz).

Beweis

Wir beweisen im nicht kommutativen Fall je nur eine Hälfte.

1. Es ist ${}a0=a(0+0)=a0+a0$. Durch beidseitiges Abziehen von ${}a0$ ergibt sich die Behauptung.

2. ${}(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0\,$

   nach Teil (1). Daher ist ${}(-a)b$ das (eindeutig bestimmte) Negative von ${}ab$.

3. Nach (2) ist ${}(-a)(-b)=(-(-a))b$ und wegen ${}-(-a)=a$ (dies gilt in jeder Gruppe) folgt die Behauptung.
4. Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen.
5. Dies folgt aus einer Doppelinduktion.

$\Box$