Rotationsfläche/Differenzierbare positive Kurve/Oberfläche/Geodätische/Textabschnitt

Es sei eine differenzierbare Kurve

$\gamma \colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (x(t),y(t)),$

mit ${}y(t)\geq 0$ gegeben. Wir interessieren uns für die zugehörige Rotationsfläche, also die Teilmenge

${\left\{(x(t),y(t)\cos \alpha ,y(t)\sin \alpha )\mid t\in [a,b],\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}$

des ${}\mathbb {R} ^{3}$, die entsteht, wenn man die Trajektorie der Kurve um die ${}x$-Achse dreht. Wir setzen zusätzlich voraus, dass ${}\gamma$ einen Homöomorphismus auf sein Bild ${}M=\gamma {\left(]a,b[\right)}$ bewirkt. Insbesondere betrachten wir den Fall, wo ${}f\colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine differenzierbare Funktion ist und es um die Rotationsfläche des Graphen geht.

Lemma

Es sei ${}I$ ein offenes Intervall und ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine differenzierbare Funktion. Dann besitzt die Rotationsfläche ${}Y$ (um die ${}x$-Achse) zum Graphen von ${}f$ folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}Y$ die Nullstellenmenge zu

   $h\colon I\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x,\,y,\,z\right)\longmapsto y^{2}+z^{2}-f(x)^{2}.$

2. Die beschreibende Funktion ${}h$ ist in jedem Punkt von ${}Y$ regulär.
3. Der Tangentialraum von ${}Y$ in einem Punkt ${}\left(x,\,y,\,z\right)$ ist (bei ${}z\neq 0$)

   ${}T_{P}Y=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\z\\-y\end{pmatrix}}+\mathbb {R} {\begin{pmatrix}z\\0\\f(x)f'(x)\end{pmatrix}}\,.$

Beweis

(1) ist klar. Die Jacobimatrix von ${}h$ ist ${}2\left(-f(x)f'(x),\,y,\,z\right)$. Wegen der Positivität von ${}f$ kann ${}y=z=0$ nicht sein, daher ist ${}h$ auf ${}Y$ regulär. Die angegebenen Vektoren sind bei ${}z\neq 0$ linear unabhängig und gehören zum Kern der Jacobimatrix.

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Lemma

Es sei ${}I$ ein offenes Intervall und ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine differenzierbare Funktion und es sei ${}Y$ die Rotationsfläche (um die ${}x$-Achse) zum Graphen von ${}f$. Es sei

$\gamma \colon J\longrightarrow I,\,t\longmapsto \gamma (t),$

eine bijektive differenzierbare Funktion derart, dass ${}\left(\gamma (t),\,f(\gamma (t))\right)$ ein Parametrisierung des Graphen zu ${}f$ mit konstanter Norm der Geschwindigkeit ist. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Zu jedem Punkt ${}\left(x,\,y,\,z\right)=\left(x,\,f(x)\cos \alpha ,\,f(x)\sin \alpha \right)\in Y$ ist

   $\theta \colon J\longrightarrow Y,\,t\longmapsto \left(\gamma (t),\,f(\gamma (t))\cos \alpha ,\,f(\gamma (t))\sin \alpha \right),$

   eine Geodätische.

2. Eine Kreiskurve

   $\theta \colon \mathbb {R} \longrightarrow I\times \mathbb {R} ^{2},\,\alpha \longmapsto \left(x,\,f(x)\cos \alpha ,\,f(x)\sin \alpha \right),$

   ist genau dann eine Geodätische, wenn ${}f'(x)=0$ ist.

Beweis

1. Die Kurve ${}\theta$ bewegt sich in der Ebene ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}}$. Nach einer Drehung können wir ohne Einschränkung ${}\alpha =0$ annehmen, die Kurve durchläuft also direkt den Graphen von ${}f$. Wegen der Bogenparametrisierung steht

   ${}\theta '(t)={\begin{pmatrix}\gamma '(t)\\f'(\gamma (t))\gamma '(t)\\0\end{pmatrix}}\,$

   nach Aufgabe senkrecht auf

   ${}\theta ^{\prime \prime }(t)={\begin{pmatrix}\gamma ^{\prime \prime }(t)\\f'(\gamma (t))\gamma ^{\prime \prime }(t)+f^{\prime \prime }(\gamma (t)){\left(\gamma ^{\prime }(t)\right)}^{2}\\0\end{pmatrix}}\,.$

   Dies bedeutet, dass die Beschleunigung senkrecht auf dem Tangentialraum (der neben der Kurvenableitung von ${}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ erzeugt wird) steht und daher die tangentiale Beschleunigung gleich ${}0$ ist. Also liegt eine Geodätische vor.

2. Die Kreisbewegung spielt sich auf der durch das fixierte ${}x$ gegebenen Ebene ab, die Ableitung (nach ${}\alpha$) der gegebenen Kurve ist ${}f(x){\begin{pmatrix}0\\-\sin \alpha \\\cos \alpha \end{pmatrix}}$ und die Beschleunigung der gegebenen Kurve ist gleich ${}-f(x){\begin{pmatrix}0\\\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}}$. Die Beschleunigung ist damit innerhalb der Ebene senkrecht zur Geschwindigkeit der Kurve, die einen Tangentialvektor der Rotationsfläche bildet. Ein dazu linear unabhängiger Tangentialvektor ist durch ${}{\begin{pmatrix}1\\f'(x)\\0\end{pmatrix}}$ gegeben. Dieser steht aber nur bei ${}f'(x)=0$ stets senkrecht auf der Beschleunigung.

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