Es sei
und
.
Es sei
das
Bild
des totalen Differentials . Nach
Fakt (1)
ist
ein
Untervektorraum
der Dimension
.
Wir
ergänzen
eine
Basis
von durch zu einer Basis von und setzen
.
Wir betrachten die Abbildung
-
wobei links und rechts zwei -dimensionale Vektorräume stehen. Diese Abbildung kann man als die
Hintereinanderschaltung
-
auffassen. Daher ist die Gesamtabbildung
stetig differenzierbar
und das totale Differential ist , wobei
die lineare Einbettung des Unterraums ist. Dieses totale Differential ist
surjektiv
im Punkt , da sowohl als auch zum Bild gehören, und somit
bijektiv.
Wir können also
den Satz über die Umkehrabbildung
anwenden und erhalten
offene Mengen
und
derart, dass ein
Diffeomorphismus
zwischen
und
ist. Dies können wir einschränken auf eine offene Menge der Form
mit
und
.
Dann ist die Abbildung
-
injektiv,
da dies die
Hintereinanderschaltung
-
mit
ist.