Schema/Lokal freie Garben/Surjektiv/Kern/Fakt/Beweis

Beweis

Da die lokale Freiheit eine lokale Eigenschaft ist, können wir direkt annehmen, dass

${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\,$

ein affines Schema zu einem noetherschen Ring ${}R$ ist und (durch weitere Verkleinerung der offenen Menge) dass ein surjektiver Modulhomomorphismus ${}\theta \colon R^{r}\rightarrow R^{s}$ vorliegt. Nach Fakt gibt es ein ${}\varphi \colon R^{s}\rightarrow R^{r}$ mit

${}\theta \circ \varphi =\operatorname {Id} _{R^{s}}\,.$

Somit gibt es eine direkte Summenzerlegung

${}R^{r}=\operatorname {kern} \theta \oplus R^{s}\,$

und ${}\theta$ ist die Projektion auf den Summanden ${}R^{s}$. Damit ist ${}\operatorname {kern} \theta$ nach Fakt ein projektiver ${}R$-Modul und nach Fakt lokal frei.

Zur bewiesenen Aussage