Standard-graduierter Ring/Projektives Spektrum/Verschiebung/Twist/Invertierbar/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}R=R_{0}[x_{1},\ldots ,x_{d}]=R_{0}[X_{1},\ldots ,X_{d}]/{\mathfrak {a}}$ mit ${}x_{i}$ vom Grad ${}1$. Dann erzeugen die ${}x_{i}$ auch das irrelevante Ideal und daher liegt eine offene affine Überdeckung

${}\operatorname {Proj} {\left(R\right)}=\bigcup _{i=1}^{d}D_{+}(x_{i})\,$

vor. Es sei ${}x$ eines der ${}x_{i}$. Nach Fakt  (2) ist

${}{\mathcal {O}}_{Y}(n){|}_{D_{+}(x)}={\mathcal {L}}\,,$

wobei ${}{\mathcal {L}}$ die affine Vergarbung des ${}{\left(R_{x}\right)}_{0}$-Moduls ${}L=(R_{x}(n))_{0}=(R_{x})_{n}$ auf

${}D_{+}(x)=\operatorname {Spek} {\left({\left(R_{x}\right)}_{0}\right)}\,$

bezeichne. In dieser Situation ist aber

${\left(R_{x}\right)}_{0}\longrightarrow {\left(R_{x}\right)}_{n},\,h\longmapsto hx^{n},$

ein ${}{\left(R_{x}\right)}_{0}$-Modulisomorphismus, und daher liegt ein ${}{\mathcal {O}}_{Y}{|}_{D_{+}(x)}$-Modulisomorphismus

${\mathcal {O}}_{Y}{|}_{D_{+}(x)}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{Y}(n){|}_{D_{+}(x)}$

vor.

Zur bewiesenen Aussage