Stetig oder diskret

Einleitung

Diese Seite zum Thema stetig oder diskret kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:

(1) stetige und diskrete Verteilung in der Wahrscheinlichkeitstheorie
(2) diskrete Beschreibung kontinuierlicher Systeme
(3) Interpolation - diskrete Punktinformationen über stetige Funktionen

Zielsetzung

Diese Lernressource zu stetig oder diskret hat das Ziel, die Begriffe in Wahrscheinlichkeitstheorie und Numerik zu betrachten und Gemeinsamkeiten und Unterschiede zu identifizieren.

Zielgruppe

Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema stetig oder diskret sind

Studierende im Fach Mathematik in den Inhaltsbereichen Wahrscheinlichkeitstheorie und Numerik
Studierende und Schüler:innen, die sich mith Mathematischer Modellbildung beschäftigen.

Aufgaben

(Stochastik) Analysieren das Thema stetig oder diskret im Kontext der Stochastik. Erläutern Sie, wann in der Stochastik stetige bzw. diskrete Wahrscheinlichkeitsräume verwendet werden.
(Numerik) In der Numerik werden für dynamische Systeme Differentialgleichung aufgestellt. Die Differentialgleichungen beschreiben das Veränderungshalten eines Systems. Teilweise lassen sich Differentialgleichungssysteme nicht explizit lösen^[1], sondern nur numerisch lösen. Erläutern Sie in diesem Kontext den Zusammenhang von einer unbekannten stetigen Funktion und deren numerische Approximation.

Interpolation

Ein Weg ist eine Abbildung $\gamma \colon [a,b]\to V$ von einem Interval $[a,b]$ in einen topologischen Vektorraum.
Die roten Punkte in der folgenden Abbildung zeigt die diskreten Punktinformationen über eine Spur eines Weges in $V:=\mathbb {R} ^{2}$

Interpolierte Spur eines Weges

Bemerkung - Interpolierte Spur eines Weges

Die Spur eines Weges beschreibt die Menge alles Bildpunkte. Bzgl. der blauen Kurve ist die Interpolationsfunktion ( $\gamma$ ) bekannt. In Anwendungsbeispielen kennt man durch Messung die rot markierten Punkte als Daten. Gesucht ist bei dem Interpolationsproblem z.B. eine stetige Funktion $\gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{2}$ , dessen Graph die Punkte $(t_{k},v_{k})$ mit $t_{k}\in [a,b]$ und $v_{k}\in V$ interpoliert.

Flächeninformation über eine stetige Funktion

Sei $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ eine unbekannte stetige Funktion. Von diese Funktion sind folgende Informationen bekannt für $n\in \mathbb {N}$ bekannt $(a_{k},b_{k},m_{k})$ :

\int _{a_{k}}^{b_{k}}f(x)\,dx=m_{k}

Aufgabe - Punktinformationen - Flächeninformationen

Mit dem Interpolationsproblem betrachtet Punktinformationen für einen Graphen einer Unbekannten Funktion.
Betrachten Sie nun Flächeninformationen (Intergrale) bzgl. einer unbekannten Funktione $f$ . Wie kann man die Funktionsklasse mathematische beschreiben, die alle Flächeninformationen erfüllen?

Literatur/Quellennachweise

↑ G. H. Golub, J. M. Ortega: Wissenschaftliches Rechnen und Differentialgleichungen. Eine Einführung in die Numerische Mathematik. Heldermann Verlag, Lemgo 1995, ISBN 3-88538-106-0.

Siehe auch

Seiteninformation

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Wiki2Reveal

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Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/stetig%20oder%20diskret
siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.

[1] G. H. Golub, J. M. Ortega: Wissenschaftliches Rechnen und Differentialgleichungen. Eine Einführung in die Numerische Mathematik. Heldermann Verlag, Lemgo 1995, ISBN 3-88538-106-0.

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