Stochastische Matrix/Determinante/Verhalten/Aufgabe/Lösung

1. Nach Fakt ist eine spaltenstochastische Matrix stabil, d.h. die Folge ${}M^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, ist beschränkt. Ferner ist die Menge der spaltenstochastischen Matrizen abgeschlossen im Raum aller Matrizen, da die Summenbedingung und die Bedingung, dass alle Einträge ${}\geq 0$ sind, durch stetige Funktionen ausgedrückt werden können. Nach dem Satz von Heine-Borel ist die Menge der spaltenstochastischen Matrizen kompakt. Die Determinante ist als Polynomfunktion ebenfalls stetig und dies gilt auch für den Betrag. Daher ist die Menge

   $\vert {\det M^{n}}\vert ,n\in \mathbb {N}$

   Fakt ebenfalls kompakt und beschränkt. Nach dem Determinantenmultiplikationssatz ist

   ${}\det M^{n}={\left(\det M\right)}^{n}\,$

   und

   ${}\vert {\det M^{n}}\vert =\vert {\det M}\vert ^{n}\,$

   Somit kann diese Folge nur bei

   ${}\vert {\det M}\vert \leq 1\,$

   beschränkt sein.

2. Die Matrix ${}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ ist spaltenstochastisch und der Betrag ihrer Determinante ist ${}1$.
3. Nach Fakt konvergiert unter der gegebenen Voraussetzung für jede Startverteilung ${}v$ die Folge ${}M^{n}v$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen die eindeutig bestimmte Eigenverteilung ${}w$. Dies gilt insbesondere für die Standardverteilungen ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$. Da ${}M^{n}e_{i}$ die ${}i$-te Spalte der Matrix ${}M^{n}$ ist, konvergiert ${}M^{n}$ gegen diejenige Matrix, nennen wir sie ${}N$, deren sämtliche Spalten gleich der Eigenverteilung ${}w$ sind. Wegen der Stetigkeit der Determinante konvergiert die Folge ${}\det M^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen die Determinante dieser Grenzmatrix ${}N$. Wegen ${}d\geq 2$, der Spaltengleichheit und Fakt ist die Determinante von ${}N$ gleich ${}0$, daher sind die Werte ${}\det M=\pm 1$ ausgeschlossen und es ist

   ${}\vert {\det M}\vert <1\,.$

Zur gelösten Aufgabe