Symmetrische Bilinearform/Orthogonalbasis/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei der Ausartungsraum der Bilinearform und ein direktes Komplement, also

Dabei ist die Einschränkung der Bilinearform auf nicht ausgeartet. Es sei eine Basis von und eine Basis von . Die Vektoren können wir auf jeden Fall als Teil einer Orthogonalbasis nehmen, da diese ja auf allen Vektoren orthogonal stehen. Wir müssen uns also nur noch um kümmern. Das bedeutet, dass wir gleich annehmen können, dass wir eine nichtausgeartete symmetrische Bilinearform auf haben. Wegen der Polarisationsformel gibt es dann auch mit

Der Orthogonalraum zu besitzt deshalb und wegen der Eigenschaft, nicht ausgeartet zu sein, die Dimension . Dieser Orthogonalraum ist ebenfalls nicht ausgeartet, daher gibt es nach Induktion über die Dimension eine Basis mit

Eine solche Basis lässt sich in folgender Weise orthogonalisieren, und zwar kann man eine Orthogonalbasis finden mit

für alle . Dies zeigen wir durch Induktion, seien schon konstruiert. Wir setzen

und setzen

Dann ist für