Topologie/Borel-Mengen/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}(M,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Dann nennt man die von ${}{\mathcal {T}}$ erzeugte ${}\sigma$-Algebra die Menge der Borel-Mengen von ${}M$.

Insbesondere nennt man im ${}\mathbb {R} ^{n}$ die durch die Topologie zur euklidischen Metrik definierte ${}\sigma$-Algebra die Menge der Borel-Mengen. Dies ist ein extrem reichhaltiger Begriff; es ist nämlich gar nicht einfach, eine Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{n}$ anzugeben, die keine Borel-Menge ist. Da es auf jedem endlichdimensionalen Vektorraum ${}V$ zwar keine natürliche Metrik, aber doch nach Fakt eine natürliche Topologie gibt, gibt es auf diesen Räumen ein wohldefiniertes Konzept von Borel-Mengen.

Lemma

Die folgenden Teilmengen des ${}\mathbb {R} ^{n}$ sind Borel-Mengen.

1. Alle offenen Teilmengen des ${}\mathbb {R} ^{n}$.
2. Alle abgeschlossenen Teilmengen des ${}\mathbb {R} ^{n}$.
3. Alle abzählbaren Teilmengen des ${}\mathbb {R} ^{n}$.
4. Alle abgeschlossenen Kugeln ${}B\left(x,\epsilon \right)$ und alle offenen Kugeln ${}U{\left(x,\epsilon \right)}$.
5. Alle abgeschlossenen Quader ${}[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]$ und alle offenen Quader ${}{]a_{1},b_{1}[}\times \cdots \times {]a_{n},b_{n}[}$.

Beweis

(1) folgt aus der Definition der Borel-Mengen. (2) folgt aus (1), da eine ${}\sigma$-Algebra mit einer Menge auch stets deren Komplement enthält, und die abgeschlossenen Mengen die Komplemente der offenen Mengen sind. (3). Einpunktige Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ sind abgeschlossen und daher Borel-Mengen. Damit ist auch jede abzählbare Punktmenge als eine abzählbare Vereinigung von einpunktigen Teilmengen eine Borel-Menge. (4) und (5) sind Spezialfälle von (1) und (2).

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Wie gesagt, Borel-Mengen sind ein recht umfassender Begriff. Andererseits wird die ${}\sigma$-Algebra der Borel-Mengen bereits durch die Menge aller Quader erzeugt, also durch diejenigen Teilmengen, für die unmittelbar ein sinnvoller Volumenbegriff existiert.

Lemma

Die Menge der Borel-Mengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ stimmt mit der von der Menge aller offenen Quader erzeugten ${}\sigma$-Algebra überein.

Dabei kann man sich sogar auf die Menge der offenen achsenparallelen Quader mit rationalen Eckpunkten beschränken.

Beweis

Wir beweisen den Zusatz. Es genügt zu zeigen, dass jede offene Menge im ${}\mathbb {R} ^{n}$ sich als eine abzählbare Vereinigung von achsenparallelen offenen Quadern mit rationalen Eckpunkten schreiben lässt. Da die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist, ist auch die Menge aller Quader mit rationalen Ecken abzählbar. Wir müssen daher nur zeigen, dass jede offene Menge eine Vereinigung von offenen achsenparallelen Quadern mit rationalen Ecken ist. Es sei dazu ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei ${}x\in U$ ein Punkt. Daher gibt es ein ${}\epsilon >0$, das wir rational wählen können, mit

${}x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,.$

Jede Koordinate ${}x_{i}$ ist eine reelle Zahl, und damit der Limes einer Folge von rationalen Zahlen. Sei

${}y=(y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {Q} ^{n}\,$

mit

${}d(x_{i},y_{i})<{\frac {\epsilon }{3n}}\,.$

für alle ${}i=1,\ldots ,n$. Damit ist einerseits

${}x\in Q={]y_{1}-{\frac {\epsilon }{3n}},y_{1}+{\frac {\epsilon }{3n}}[}\times \cdots \times {]y_{n}-{\frac {\epsilon }{3n}},y_{n}+{\frac {\epsilon }{3n}}[}\,$

und andererseits gilt für ${}z\in Q$ die Beziehung

${}d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\leq {\frac {\epsilon }{3}}+{\frac {\epsilon }{3}}<\epsilon \,,$

also ${}z\in U{\left(x,\epsilon \right)}$. Damit ist ${}x\in Q\subseteq U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U$. Die Vereinigung dieser so konstruierten Quader ist genau ${}U$.

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