Topologischer Raum/Grundbegriffe/Einführung/Textabschnitt

Die Menge der offenen Teilmengen des ${}\mathbb {R} ^{n}$, oder allgemeiner eines metrischen Raumes, bilden ein Mengensystem, dass eine Topologie im Sinne der folgenden Definition ist.

Definition

Es sei ${}X$ eine Menge. Eine Familie ${}{\mathcal {T}}$ von Teilmengen von ${}X$ heißt Topologie auf ${}X$, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:

1. Es ist ${}\emptyset \in {\mathcal {T}}$ und ${}X\in {\mathcal {T}}$.
2. Sind ${}U\in {\mathcal {T}}$ und ${}V\in {\mathcal {T}}$, so ist auch ${}U\cap V\in {\mathcal {T}}$.
3. Ist ${}I$ eine Indexmenge und ${}U_{i}\in {\mathcal {T}}$ für alle ${}i\in I$, so ist auch ${}\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}$.

Ein topologischer Raum ist ein Paar ${}(X,{\mathcal {T}})$, wobei ${}X$ eine Menge und ${}{\mathcal {T}}$ eine Topologie auf ${}X$ ist.

Die Teilmengen von ${}X$, die zu ${}{\mathcal {T}}$ gehören, heißen offene Mengen. Eine Teilmenge ${}A\subseteq X$ heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist, also zur Topologie gehört.

Definition

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt hausdorffsch, wenn es zu je zwei verschiedenen Punkten ${}x,y\in X$ offene Mengen ${}U$ und ${}V$ mit ${}x\in U$, ${}y\in V$ und mit ${}U\cap V=\emptyset$ gibt.

Definition

Es sei ${}(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Ein System ${}{\mathcal {C}}$ von offenen Mengen in ${}X$ heißt Basis der Topologie, wenn man jede offene Menge in ${}{\mathcal {T}}$ als Vereinigung von offenen Mengen aus ${}{\mathcal {C}}$ erhalten kann.

In einem metrischen Raum bilden die offenen Bälle eine Basis der Topologie.

Definition

Es sei ${}(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Man sagt, dass ${}X$ eine abzählbare Basis besitzt, wenn es eine Basis der Topologie gibt, die nur aus abzählbar vielen offenen Mengen besteht.

Im ${}\mathbb {R} ^{n}$ gibt es überabzählbar viele offene Mengen, es gibt aber eine abzählbare Basis, nämlich alle offenen Bälle ${}U{\left(P,r\right)}$, deren Mittelpunktskoordinaten und deren Radien rationale Zahlen sind, siehe Aufgabe.

Definition

Eine Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

zwischen topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ heißt stetig, wenn Urbilder von offenen Mengen wieder offen sind.

Diese Definition stimmt wegen Fakt mit der Definition für metrische Räume überein.

Definition

Zwei topologische Räume ${}X$ und ${}Y$ heißen homöomorph, wenn es eine bijektive stetige Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

gibt, deren Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ ebenfalls stetig ist.

Beispielsweise ist nach Aufgabe das offene Einheitsideal ${}]0,1[$ homöomorph zu ${}\mathbb {R}$, aber nach Aufgabe nicht homöomorph zum abgeschlossenen Einheitsintervall ${}[0,1]$. Eine stetige bijektive Abbildung mit stetiger Umkehrabbildung nennt man Homöomorphie.

Definition

Es sei ${}(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum und ${}Y\subseteq X$ eine Teilmenge. Folgende Vorschrift definiert eine Topologie ${}{\mathcal {T}}_{Y}$ auf ${}Y$: Für eine Teilmenge ${}U\subseteq Y$ gilt ${}U\in {\mathcal {T}}_{Y}$ genau dann, wenn es eine in ${}X$ offene Menge ${}V\in {\mathcal {T}}$ derart gibt, dass ${}V\cap Y=U$ gilt.

Es lässt sich leicht nachweisen, dass ${}{\mathcal {T}}_{Y}$ eine Topologie ist. Sie heißt Unterraumtopologie (oder induzierte Topologie), und der topologische Raum ${}(Y,{\mathcal {T}}_{Y})$ heißt ein Unterraum von ${}(X,{\mathcal {T}})$.