Topologischer Raum/K-wertige Funktionen/Kompakte Konvergenz/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}T$ ein topologischer Raum und sei

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge kompakt konvergiert, wenn sie auf jeder kompakten Teilmenge ${}K\subseteq T$ gleichmäßig konvergiert.

Definition

Es sei ${}T$ ein topologischer Raum und sei

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge lokal gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

derart gibt, dass es zu jedem Punkt ${}P\in T$ eine offene Umgebung ${}P\in U\subseteq T$ derart gibt, dass ${}f_{n}{|}_{U}$ gleichmäßig gegen ${}f{|}_{U}$ konvergiert.

Lemma

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ eine offene Teilmenge und sei

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen.

Dann ist die Funktionenfolge genau dann kompakt konvergent, wenn sie lokal gleichmäßig konvergent ist.

Beweis

Es sei ${}f_{n}$ kompakt konvergent und sei ${}P\in T$. Zu einer offenen Ballumgebung ${}P\in U{\left(P,r\right)}\subset U{\left(P,s\right)}\subseteq T$ ist der abgeschlossene Ball ${}B\left(P,r\right)$ kompakt. Die gleichmäßige Konvergenz darauf überträgt sich auf die offene Teilmenge. Sei umgekehrt angenommen, dass lokal gleichmäßige Konvergenz vorliegt, und sei ${}K\subseteq T$ eine kompakte Teilmenge. Es gibt dann eine endliche Überdeckung ${}K\subseteq \bigcup _{i=1}^{m}U_{i}$ mit in ${}T$ offenen Teilmengen ${}U_{i}$ derart, dass die Funktionenfolge auf jedem ${}U_{i}$ gleichmäßig konvergiert. Dies überträgt sich auf die endliche Vereinigung und damit auch auf ${}K$.

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