Topologischer Raum/Welke Garbe/Azyklisch/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt gibt es eine Einbettung von ${}{\mathcal {G}}$ in eine injektive Garbe ${}{\mathcal {I}}$, wir betrachten die zugehörige kurze exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {I}}/{\mathcal {G}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Nach Fakt ist ${}{\mathcal {I}}$ eine welke Garbe. Dann ist nach Fakt  (2) auch die Quotientengarbe ${}{\mathcal {I}}/{\mathcal {G}}$ welk. Die lange exakte Kohomologiesequenz ergibt unter Verwendung von Fakt einerseits

$0\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}/{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {G}})\longrightarrow 0$

und andererseits

$0\longrightarrow H^{n}(X,{\mathcal {I}}/{\mathcal {G}}){\stackrel {\delta ^{n}}{\longrightarrow }}H^{n+1}(X,{\mathcal {G}})\longrightarrow 0$

für ${}n\geq 1$. Aus dem ersten Ausschnitt folgt wegen der Surjektivität (siehe Fakt  (1)) von

$\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}/{\mathcal {G}}\right)},$

dass ${}H^{1}(X,{\mathcal {G}})=0$ ist. Dies gilt für alle welke Garben. Daher gilt aufgrund des zweiten Ausschnittes, angewendet für ${}n=2$, auch ${}H^{2}(X,{\mathcal {G}})=0$, u.s.w.

Zur bewiesenen Aussage