Uneigentliches Integral/0 bis 1/t^c/Beispiel

Es sei ${}f(t):=t^{c}$ mit ${}c\in \mathbb {R}$. Wir interessieren uns für die uneigentlichen Integrale zu ${}f$ für ${}t$ von ${}0$ bis ${}1$. Dabei ist die Funktion bei der Intervallgrenze ${}0$ (bei negativem ${}c$) nicht definiert, das ist also der kritische Randpunkt. Bei ${}c=-1$ ist ${}\ln t$ eine Stammfunktion von ${}1/t$. Daher ist

${}\int _{x}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt=-\ln x\,,$

und der Grenzwert für ${}x\rightarrow 0$ existiert nicht. Das uneigentliche Integral existiert also nicht.

Es sei nun ${}c<-1$. Dann ist ${}{\frac {1}{{c}+1}}t^{{c}+1}$ eine Stammfunktion zu ${}t^{c}$ und daher ist

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\left(\int _{x}^{1}t^{c}\,dt\right)}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\left({\frac {1}{{c}+1}}t^{{c}+1}|_{x}^{1}\right)}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\left({\frac {1}{{c}+1}}-{\frac {x^{{c}+1}}{{c}+1}}\right)}\,.$

Da es sich rechts um eine Potenz von ${}x$ mit einem negativen Exponenten handelt, ist ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,x^{{c}+1}=\infty$ nach der inversen Version von Aufgabe.

Das uneigentliche Integral existiert also nicht. Dies folgt übrigens auch aus Fakt, da ja ${}t^{-1}\leq t^{c}$ für ${}c<-1$ und ${}0<t\leq 1$ gilt.

Es sei nun ${}{c}>-1$. Dann ist ${}{\frac {1}{{c}+1}}t^{{c}+1}$ eine Stammfunktion zu ${}t^{c}$ und daher ist

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\left(\int _{x}^{1}t^{c}\,dt\right)}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\left({\frac {1}{{c}+1}}t^{{c}+1}|_{x}^{1}\right)}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\left({\frac {1}{{c}+1}}-{\frac {x^{{c}+1}}{{c}+1}}\right)}\,.$

Da es sich um eine Potenz von ${}x$ mit einem positiven Exponenten handelt, ist ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,x^{{c}+1}=0$ (nach Aufgabe). Das uneigentliche Integral existiert also und besitzt den Wert ${}{\frac {1}{c+1}}$.