Untervektorraum/Dualraum/Orthogonaler Raum/Entsprechung/Fakt/Beweis

Beweis

(1) und (2) sind klar. (3). Die Inklusion

${}U\subseteq {\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }\,$

ist auch klar. Sei ${}v\in V$, ${}v\not \in U$. Dann kann man eine Basis ${}u_{1},\ldots ,u_{r}$ von ${}U$ zu einer Basis ${}u_{1},\ldots ,u_{r},v,v_{1},\ldots ,v_{\ell }$ von ${}V$ ergänzen. Die Linearform ${}v^{*}$ verschwindet auf ${}U$ und gehört daher zu ${}U^{\perp }$. Wegen

${}v^{*}(v)=1\neq 0\,$

ist ${}v\notin {\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }$.

Die Inklusion

${}F\subseteq \left(F^{\perp }\right)^{\perp }\,$

gilt wieder direkt. Es sei ${}f\in \left(F^{\perp }\right)^{\perp }$, also

${}F^{\perp }\subseteq \operatorname {kern} f\,.$

Es sei ${}f_{1},\ldots ,f_{m}$ ein Erzeugendensystem von ${}F$. Nach Aufgabe gilt, dass ${}f$ eine Linearkombination der ${}f_{i}$ ist, also ${}f\in F$.

(4). Wir beweisen zuerst den zweiten Teil. Es sei ${}f_{1},\ldots ,f_{r}$ eine Basis von ${}F$ und es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow K^{r}$

die aus diesen Linearformen zusammengesetzte Abbildung. Dabei ist

${}F^{\perp }=\operatorname {kern} \varphi \,.$

Wenn die Abbildung ${}\varphi$ nicht surjektiv wäre, so wäre ${}\operatorname {bild} \varphi$ ein echter Untervektorraum von ${}K^{r}$ und hätte maximal die Dimension ${}r-1$. Es sei ${}W$ ein ${}(r-1)$-dimensionaler Untervektorraum mit

${}\operatorname {bild} \varphi \subseteq W\subseteq K^{r}\,.$

Nach Fakt gibt es eine von ${}0$ verschiedene Linearform

$g\colon K^{r}\longrightarrow K,$

deren Kern genau ${}W$ ist. Sei ${}g=\sum _{i=1}^{r}a_{i}p_{i}$, wobei ${}p_{i}$ die ${}i$-te Projektion bezeichnet. Dann ist

${}\sum _{i=1}^{r}a_{i}f_{i}=g\circ \varphi =0\,,$

was der linearen Unabhängigkeit der ${}f_{i}$ widerspricht. Also ist ${}\varphi$ surjektiv ist und die Aussage folgt aus Fakt.

Der erste Teil folgt, indem man ${}U={\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }$ verwendet und den zweiten Teil auf ${}F=U^{\perp }$ anwendet.

Zur bewiesenen Aussage