Start
Zufällige Seite
Anmelden
Einstellungen
Spenden
Über Wikiversity
Haftungsausschluss
Suchen
Vektorfeld/Punktierte Ebene/(x,y) nach (-y,x) durch x^2+y^2/Integrabel nicht exakt/Aufgabe/Lösung
Sprache
Beobachten
Bearbeiten
<
Vektorfeld/Punktierte Ebene/(x,y) nach (-y,x) durch x^2+y^2/Integrabel nicht exakt/Aufgabe
Wegen
∂
G
1
∂
y
=
∂
∂
y
(
−
y
x
2
+
y
2
)
=
−
(
x
2
+
y
2
)
+
y
(
2
y
)
(
x
2
+
y
2
)
2
=
−
x
2
+
y
2
(
x
2
+
y
2
)
2
{\displaystyle {}{\frac {\partial G_{1}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}{\left({\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}\right)}={\frac {-(x^{2}+y^{2})+y(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}={\frac {-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,}
und
∂
G
2
∂
x
=
∂
∂
x
(
x
x
2
+
y
2
)
=
(
x
2
+
y
2
)
−
x
(
2
x
)
(
x
2
+
y
2
)
2
=
−
x
2
+
y
2
(
x
2
+
y
2
)
2
{\displaystyle {}{\frac {\partial G_{2}}{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}{\left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\right)}={\frac {(x^{2}+y^{2})-x(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}={\frac {-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,}
erfüllt dieses Vektorfeld die
Integrabilitätsbedingung
.
Das
Wegintegral
zur (geschlossenen) trigonometrischen Parametrisierung des Einheitskreises
γ
:
[
0
,
2
π
]
⟶
R
2
,
t
⟼
(
cos
t
sin
t
)
,
{\displaystyle \gamma \colon [0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}},}
ist
∫
γ
G
=
∫
0
2
π
⟨
G
(
γ
(
t
)
)
,
(
−
sin
t
cos
t
)
⟩
d
t
=
∫
0
2
π
⟨
(
−
sin
t
cos
t
)
,
(
−
sin
t
cos
t
)
⟩
d
t
=
∫
0
2
π
sin
2
t
+
cos
2
t
d
t
=
∫
0
2
π
1
d
t
=
2
π
≠
0
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{\gamma }G&=\int _{0}^{2\pi }\left\langle G(\gamma (t)),{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\right\rangle dt\\&=\int _{0}^{2\pi }\left\langle {\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\end{pmatrix}}\right\rangle dt\\&=\int _{0}^{2\pi }\sin ^{2}t+\cos ^{2}tdt\\&=\int _{0}^{2\pi }1dt\\&=2\pi \\&\neq 0\end{aligned}}}
im Gegensatz zu
Fakt
.
Zur gelösten Aufgabe