Sei
ein Punkt in
![{\displaystyle {}I\times U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37c6f9d73e2d13f16d3f5996484a26605d8ffeab)
und sei
-
eine offene Umgebung von
![{\displaystyle {}P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4d223112a325f739e215e40c8e1086ac45af26e)
innerhalb von
![{\displaystyle {}I\times U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37c6f9d73e2d13f16d3f5996484a26605d8ffeab)
derart, dass auch
-
![{\displaystyle {}B=B\left(t,\epsilon \right)\times B\left(v,\epsilon \right)\subseteq I\times U\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a25695e4f11217d9ba59c988c465c12d864ef3f9)
ist. Dieses
ist eine
abgeschlossene Umgebung
von
und daher
kompakt.
Da die partiellen Ableitungen
nach Voraussetzung
stetig
sind, gibt es nach
Fakt
eine gemeinsame Schranke
mit
-
![{\displaystyle {}\Vert {{\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}(Q)}\Vert \leq c\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88960fe7c512f5e1d0ab581fe7a65a07ffae6470)
für alle
.
Daher gibt es für die Matrizen
eine Schranke
mit
-
![{\displaystyle {}\Vert {{\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}(Q)\right)}_{1\leq i,j\leq n}}\Vert \leq L\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f90cb47c02283a719197131182c6745f13a4961)
Man kann daher zu jedem festen Zeitpunkt
Fakt
anwenden und erhält für
die Abschätzung
-
![{\displaystyle {}\Vert {f(s,u)-f(s,u')}\Vert \leq L\cdot \Vert {u-u'}\Vert \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f08cc7511bdb9e591c540796ac065cf9a3512c5)