Vektorraum/Direkte Summe/Einführung/Textabschnitt


Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei eine Familie von Untervektorräumen von . Man sagt, dass die direkte Summe der ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.

  1. Jeder Vektor besitzt eine Darstellung

    mit .

  2. für alle .

Wenn die Summe der direkt ist, schreiben wir statt auch . Bei zwei Untervektorräumen

bedeutet die zweite Bedingung einfach .


Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einer Basis . Es sei

eine disjunkte Zerlegung der Indexmenge. Es seien

die durch die Teilfamilien erzeugten Untervektorräume. Dann ist

Der Extremfall ergibt die direkte Summe

mit eindimensionalen Untervektorräumen.




Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und ein Untervektorraum.

Dann gibt es einen Untervektorraum derart, dass eine direkte Summenzerlegung

vorliegt.

Es sei eine Basis von . Diese können wir nach Fakt zu einer Basis von ergänzen. Dann erfüllt

die gewünschten Eigenschaften.


In der vorstehenden Aussage heißt ein direktes Komplement zu (in ). Es gibt im Allgemeinen viele verschiedene direkte Komplemente.