Vektorraum/Direkte Summe/Einführung/Textabschnitt
Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei eine Familie von Untervektorräumen von . Man sagt, dass die direkte Summe der ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
- Jeder Vektor
besitzt eine Darstellung
mit .
- für alle .
Wenn die Summe der direkt ist, schreiben wir statt auch . Bei zwei Untervektorräumen
bedeutet die zweite Bedingung einfach .
Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einer Basis . Es sei
eine disjunkte Zerlegung der Indexmenge. Es seien
die durch die Teilfamilien erzeugten Untervektorräume. Dann ist
Der Extremfall ergibt die direkte Summe
mit eindimensionalen Untervektorräumen.
Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und ein Untervektorraum.
Dann gibt es einen Untervektorraum derart, dass eine direkte Summenzerlegung
vorliegt.
In der vorstehenden Aussage heißt ein direktes Komplement zu
(in ).
Es gibt im Allgemeinen viele verschiedene direkte Komplemente.